5.2.3 简单复合函数的导数（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】人教A版

5．2.3　简单复合函数的导数 学业标准 素养目标 1．了解复合函数的概念．(难点) 2．掌握复合函数的求导法则．(重点) 3．能利用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数．(重点、难点) 1．通过复合函数概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过利用复合函数的求导法求复合函数的导数，提升数学运算、逻辑推理等核心素养. [教材梳理] 导学1　复合函数 已知y＝(3x＋2)2，y＝sin. 　这两个函数是复合函数吗？ [提示]　是复合函数． 　试说明y＝(3x＋2)2是如何复合的． [提示]　令u＝g(x)＝3x＋2，y＝f(u)＝u2， 则y＝f(u)＝f(g(x))＝(3x＋2)2. ◎结论形成 复合函数的概念：对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成 __x的函数__，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作__y＝f(g(x))__． 导学2　复合函数的求导法则 　试求y＝(3x＋2)2，f(u)＝u2，g(x)＝3x＋2的导数． [提示]　y′＝(9x2＋12x＋4)′＝18x＋12，f′(u)＝2u，g′(x)＝3. 　观察问题1中的导数有何关系． [提示]　y′＝[f(g(x))]′＝f′(u)·g′(x)． ◎结论形成 复合函数的求导法则：对于由函数y＝f(u)，u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝__y′u·u′x__，即y对x的导数等于__y对u的导数与u对x的导数的乘积__． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.(　　) (2)函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1)．(　　) (3)函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cos x．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)× 2．函数y＝cos (－x)的导数是(　　) A．cos x　 B．－cos x　 C．－sin x　 D．sin x 解析　y′＝－sin (－x)(－x)′＝－sin x. 答案　C 3．已知函数f(x)＝(2x－1)2的导数为f′(x)，则f′(1)＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　f′(x)＝2(2x－1)×2＝8x－4，则f′(1)＝8×1－4＝4. 答案　D 4．函数y＝是由________两个函数复合而成的． 答案　y＝，u＝sin x 题型一　复合函数的定义 　指出下列函数是怎样复合而成的． (1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)；(3)y＝cos 3x. [解析]　(1)y＝(3＋5x)2是由函数y＝u2，u＝3＋5x复合而成的． (2)y＝log3(x2－2x＋5)是由函数y＝log3u，u＝x2－2x＋5复合而成的． (3)y＝cos 3x是由函数y＝cos u，u＝3x复合而成的． [规律方法] 判断复合函数的方法 判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要结构的，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，里层应是关于自变量x的基本函数或关于自变量x的基本函数经过有限次运算而得到的函数． [触类旁通] 1．指出下列函数由哪些函数复合而成． (1)y＝ln ；(2)y＝esin x；(3)y＝cos(x＋1)． 解析　(1)y＝ln u，u＝. (2)y＝eu，u＝sin x. (3)y＝cos u，u＝x＋1． 题型二　简单的复合函数求导问题 　求下列函数的导数： (1)y＝；(2)y＝esin x； (3)y＝sin；(4)y＝5log2(2x＋1)． (2)设y＝eu，u＝sin x， 则y′x＝y′u·u′x＝eu·cos x＝esin xcos x. (3)设y＝sin u，u＝2x＋， 则y′x＝y′u·u′x＝cos u·2＝2cos. (4)设y＝5log2u，u＝2x＋1， 则y′＝5(log2u)′(2x＋1)′＝＝. [规律方法] 复合函数的求导步骤 [触类旁通] 2．求下列函数的导数： (1)y＝(2x－1)4； (2)y＝102x＋3； (3)y＝sin4x＋cos4x. 解析　(1)令u＝2x－1，则y＝u4， ∴y′x＝y′u·u′x＝4u3·(2x－1)′＝4u3·2 ＝8(2x－1)3. (2)令u＝2x＋3，则y＝10u， ∴y′x＝y′u·u′x＝10u·ln 10·(2x＋3)′ ＝2ln 10·102x＋3. (3)y＝sin4x＋cos4x ＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2x·cos2x ＝1－sin22x＝1－(1