5.2.2 导数的四则运算法则（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】人教A版

5．2.2　导数的四则运算法则 学业标准 素养目标 1．熟记基本初等函数的导数公式，并能运用这些公式求基本初等函数的导数．(重点) 2．掌握导数的运算法则，并能运用法则求复杂函数的导数．(难点) 1．通过导数的四则运算法则的学习，培养数学运算等核心素养． 2．通过利用导数的四则运算法则求复杂函数的导数，提升数学运算、逻辑推理等核心素养. [教材梳理] 导学　导数的运算法则 已知f(x)＝x，g(x)＝. 　f(x)，g(x)的导数分别是什么？ [提示]　f′(x)＝1，g′(x)＝－. 　试求Q(x)＝x＋，H(x)＝x－的导数． [提示]　∵Δy＝(x＋Δx)＋－＝Δx＋， ∴＝1－， ∴Q′(x)＝ ＝ ＝1－. 同理H′(x)＝1＋. 　Q(x)，H(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？ [提示]　Q(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的和，H(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的差． 　[f(x)g(x)]′＝f′(x)g′(x)对吗？ [提示]　不对，因为f(x)g(x)＝1，[f(x)g(x)]′＝0，而f′(x)g′(x)＝1×＝－. ◎结论形成 导数的四则运算法则 设两个函数分别为f(x)和g(x)，则： 两个函数和的导数 [f(x)＋g(x)]′＝__f′(x)＋g′(x)__ 两个函数差的导数 [f(x)－g(x)]′＝__f′(x)－g′(x)__ 两个函数积的导数 [f(x)g(x)]′＝__f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)__ 两个函数商的导数 ′＝　　(g(x)≠0) [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f(x)＝a2＋2ax＋x2，则f′(a)＝2a＋2x.(　　) (2)函数f(x)＝xex＋1的导数是f′(x)＝ex(x＋1)．(　　) (3)函数f(x)＝sin 2x的导数为f′(x)＝cos x．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)× 2．(2022·驻马店模拟)已知函数f＝sin x＋cos ，则f′＝(　　) A． B． C． D． 解析　因为f＝sin x＋cos ，则f′＝cos x，故f′＝cos ＝. 故选B. 答案　B 3．函数y＝的导数是(　　) A．－ B．－sin x C．－ D．－ 解析　y′＝′＝＝＝－. 答案　C 4．函数y＝xln x的导数为________． 答案　ln x＋1 题型一　导数的四则运算 　(1)函数y＝(2x2＋3)(3x－2)的导数是____________； (2)函数y＝2xcos x－3xln x的导数是________； (3)函数y＝的导数是________． [解析]　(1)方法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3＝18x2－8x＋9. 方法二：∵y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6， ∴y′＝18x2－8x＋9. (2)y′＝(2xcos x－3xln x)′＝(2x)′cos x＋2x(cos x)′－3[x′ln x＋x(ln x)′]＝2xln 2cos x－2xsin x－3·＝2xln 2cos x－2xsin x－3ln x－3. (3)y′＝′ ＝ ＝＝. 答案　(1)y′＝18x2－8x＋9 (2)y′＝2x ln 2 cos x－2x sin x－3 ln x－3 (3)y′＝ [规律方法] 求导数的两点要求 (1)先区分函数的结构特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的四则运算法则求导数． (2)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程． [触类旁通] 1．求下列各函数的导数． (1)y＝(＋1)； (2)y＝x－sin cos ； (3)y＝. 解析　(1)化简得y＝·－＋－1＝－x＋x－， ∴y′＝－x－－x－＝. (2)∵y＝x－sin cos ＝x－sin x， ∴y′＝′＝x′－(sin x)′＝1－cos x. (3)y′＝＝. 题型二　利用导数求曲线的切线方程 　已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8. (1)求a，b的值； (2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程． [解析]　(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)， 所以f′(x)＝2ax＋b， 又知f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8. (2)由第一问可知g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3， 所以g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8，所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－