第18章 勾股定理 强化-辅导讲义 2022-2023学年沪科版数学八年级下册

第18章　　　 勾股定理 典型例题分类总结 巧用勾股定理求最短路径的长 求最短距离的问题，第一种是通过计算比较解最短问题；第二种是平面图形，将分散的条件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中，然后借助勾股定理解决；第三种是立体图形，将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距离)． 用计算法求平面中最短问题 1．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人从A走到B，为了避免拐角C走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了__4___步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草． 2．小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在黄石A坐“武黄城际列车”到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B.设AB＝80 km，BC＝20 km，∠ABC＝120°.请你帮助小明解决以下问题： (1)求A，C之间的距离．(参考数据≈4.6) (2)若客车的平均速度是60 km/h，市内的公共汽车的平均速度为40 km/h，“武黄城际列车”的平均速度为180 km/h，为了在最短时间内到达武昌客运站，小明应选择哪种乘车方案？请说明理由．(不计候车时间) ( 解： (1)如图，过点C作AB的垂线，交AB的延长线于点E. ∵∠ ABC＝120°， ∴∠ BCE＝30°. 在 Rt △ CBE中， ∵ BC＝20 k m ， ∴ BE＝10 km . 由勾股定理可得CE＝10 km . 在 Rt △ ACE中， ∵ AC 2 ＝AE 2 ＋CE 2 ＝(AB＋BE) 2 ＋CE 2 ＝8 100＋300＝8 400， ∴ AC＝20 ≈ 20 × 4.6＝92( km )． (2)选择乘 “ 武黄城际列车 ”． 理由如下：乘客车需时间t 1 ＝ ＝1 ( h )，乘 “ 武黄城际列车 ” 需时间 t 2 ≈ ＋ ＝1 ( h )． ∵ 1 >1 ， ∴ 选择乘 “ 武黄城际列车 ”． ) 用平移法求平面中最短问题 3．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50 cm，30 cm，10 cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，至少需爬(　C　) A．13 cm B．40 cm C．130 cm D．169 cm 　 4．如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则AF的长是___10_____． 用对称法求平面中最短问题 5．如图，在正方形ABCD中，AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一点P，使EP＋BP最短，求EP＋BP的最短长度． ( 解： 如图，连接BD交AC于O，连接ED与AC交于点P，连接BP. 易知BD ⊥ AC， 且BO＝OD， ∴ BP＝PD，则BP＋EP＝ED，此时最短． ∵ AE＝3，AD＝1＋3＝4，由勾股定理得 ED 2 ＝AE 2 ＋AD 2 ＝3 2 ＋4 2 ＝25＝5 2 ， ∴ ED＝BP＋EP＝5. ) ( 解： 作点B关 于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则点P即为所建的出口．此时A、B两城镇到出口P的距离之和最小，最短距离为AC的长． 作AD ⊥ BB′于点D， 在 Rt △ ADC中，AD＝A′B ′ ＝ 8 km ，DC＝6 km . ∴ AC＝ ＝10 km ， ∴ 这个最短距离为10 km . )6．高速公路的同一侧有A、B两城镇，如图，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′＝2 km，BB′＝4 km，A′B′＝8 km.要在高速公路上A′、B′之间建一个出口P，使A、B两城镇到P的距离之和最小．求这个最短距离． 用展开法求立体图形中最短问题 类型1　圆柱中的最短问题 7．如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，AB，CD分别是两底面的直径．若一只小虫从A点出发，沿圆柱侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是___2 _____(结果保留根号)． 类型2