2022年匈牙利Kurschak数学竞赛试题

2022年匈牙利Kuirschak竞赛试题解析 匈牙利是数学竞赛的发源地，而Kuirschak竞赛是全球范围内历史最悠久的 数学竞赛.2022年Kurschak竞赛试题考察的思想方法比较典型，是联赛训练较 好的素材.囿于水平，不当之处，敬请读者批评指正. 题1将一个正方形划分为2022个矩形，其中任意两个矩形在正方形内部 没有公共顶点，由这些矩形的边组成的线段长度至多有多少个不同的值？ 解我们证明所有分界线方向均相同，即划分必形如 假设存在一个矩形在正方形内部有顶点，设这个矩形为ABCD,D在正方 形内部 用AD,CD所在直线把正方形划为4个区域，易知此划分中每个矩形都不 能与至少3个区域有公共内点，故D点除BD,AD外还引出一条分界线： 不妨设它与AD共线，则以这条分界线和CD为边有一个以D为顶点的矩 形，它与ABCD在正方形内有公共顶点D,矛盾！ 修订日期：2022-12-09. 因此，所有矩形的顶点均在边界上，故每一个矩形要么与上边界和下边界都 有公共边，要么与左边界和右边界都有公共边.故此划分必为 故不同长度最多有(2)个. 口 评注本题是常规的组合问题，只需注意到所有的分界线方向均相同即可. 题2设p和q均为4k+3型的素数.假设存在非零整数x和y满足 x2-pqy2=1.求证：存在正整数a和b满足pa2-qb2=1. 证明由于pqy2=x2-1=(x-1)(x+1),且 1≡x2-pqy2≡x2-y2(mod4)→2↑，2|y, 取所有满足要求的正整数解中使x是最小的 由2x-1,知(x-1,x+1)=(ax-1,2)=2,由y≠0知x>1. 下面进行分类讨论： ①若p|x-1,qx+1,存在s,v∈Z+, x-1=2ps2,x+1=2qw2,1=qw2-ps2. ②若qx-1,px+1,存在5，v∈Z+, x-1=2qs2,x+1=2pw2,1=pw2-qs2, ③若pgx-1,存在s,v∈Z+, x-1=2pqs2,x+1=2u2,v2-pgs2=1 但x+1=2w2≥2x2→+之≥1→x≤1，矛盾. ④若pgx+1,存在s,v∈Z+, x-1=2s2,x+1=2qpm2,pqu2=s2+1→ps2+1 而p三3(mod4→（分）=-1，矛盾！ 综上所述，命题成立！ 口 评注本题为中档偏易的Pell型问题但具有较强的迷惑性，容易联系Pell 方程的证明而想偏，利用不定方程的因式分解视角可较快找到解决问题的办 2 法 题3n2个实数a,(1≤i≤n,1≤j≤n)满足对任意i和j,ai,+a.i=0 (特别地，对任意i,a,=0).求证： (店 证明注意到 三（店 1≤i<jn i-1 ="呢（三呢++2 AijAi.k <i<j≤n 7=1 ≤i<j<k≤n +2∑a-2∑aa) 1≤j<k<i<n 1≤j<i<k≤n =n∑a喝，-2∑哈-2(aak+a:kajk-aaj) 1<i<j≤n 1≤i<j<n 1<i<j<k<n = ∑(a+a5k-a*)2≥0. 1≤i<j<k≤n 故证毕 口 评注处理这种二次型不等式自然想到配方，再从小情形出发容易观察出 配方的结构，便能得以解决 3