6.4.3 余弦定理、正弦定理应用举例（第3课时）（教学课件）-【大单元教学】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）

【大单元教学】2022-2023学年高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册） 6.4.3余弦定理、正弦定理应用举例（第3课时） 【单元目标】 （1）会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用。 （2）借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理。 （3）能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题。 【单元知识结构框架】 【学情分析】 学生已经学习过了勾股定理、任意角的三角函数、平面向量等相关知识，这为过渡到本节内容的学习起着铺垫作用。高一下学期阶段的学生思维较为活跃，求知欲也较强，但没有接触过数学定理的证明，没有证明定理的经验，将实际问题转化为数学问题的建模能力有待提高。因此教师要提供针对性的研究素材，并作必要的启发和引导，证明余弦定理的过程中也会存在困难，教师可以适时的点拨。 教学重点：用向量方法解决简单的几何问题、实际问题的方法与步骤，用向量方法证明余弦定理和正弦定理 ，余弦定理和正弦定理的应用。 教学难点： 如何把几何问题、实际问题转化为向量问题，余弦定理和正弦定理的证明。 一、新知导入 1. 创设情境，生成问题 珠穆朗玛峰是喜马拉雅山脉的主峰，海拔8 848.13米，29 029 英尺(此数据是在国家测绘局第一大地测量队的协助下，于1975 年测定的，1992年又对其进行了复测)，是地球上的第一高峰， 位于东经86.9°，北纬27.9°. 【问题】　8 848.13米——这个珠峰原“身高”是如何测定的？ 【提示】　对于那次珠峰测高过程中我国所采用的技术与方法，我们可能感到不可思议，简单来说，那就是数字的测量与解三角形的应用. 二、余弦、正弦定理应用举例 1.实际应用问题中的专用名词与术语： （1）基线：在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线．为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高． (2)仰角和俯角：在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①)． (3)方位角：指从正北方向按顺时针转到目标方向线所转过的水平角，如B点的方位角为α(如图②)． (4)方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°. 2.运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤 ①分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形)； ②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型. ③求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解. ④检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解. 3.三角形的面积公式： (1)在△ABC中，边BC，CA，AB上的高分别记为ha，hb，hc，则 (2)三角形面积公式的其他形式： 拓展：三角形中有关边和角的常用性质： (1)三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π； (2)在△ABC中，a>b⇔A>B⇔sin_A>sin_B； (3)在△ABC中，a＋b>c，b＋c>a，c＋a>b. (4)在△ABC中，A为锐角⇔cos A>0⇔a2<b2＋c2；A为直角⇔cos A＝0⇔a2＝b2＋c2；A为钝角⇔cos A<0⇔a2>b2＋c2. 【做一做】 1.从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为(　　) A．α＞β　　　 B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180° 2.若点A在点C的北偏东30°方向上，点B在点C的南偏东60°方向上，且AC＝BC，则点A在点B的(　　) A．北偏东15°方向上　　　　 B．北偏西15°方向上 C．北偏东10°方向上 D．北偏西10°方向上 B B 例9 如图, A, B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种 测量A, B两点间距离的方法，并求出A, B 间的距离. 分析：若测量者在A, B两点的对岸取定一点C （称作测量基点），则在点C处只能测出∠ACB的大小，因而无法解决问题. 为此，可以再取一点D，测出线段CD的长，以 及∠ACD, ∠CDB, ∠BDA，这样就可借助正弦定理和余弦定理算出距离了. 三、典型例题 例9 如图, A, B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种 测量A, B两点间距离的方法，并求出A, B 间的距离. 在△ADC中，由正弦定理，得 解：如图,在A, B两点的对岸选定两点C, D, 测得CD= ,并且在C, D两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β，∠CDB=γ, ∠B