湖南省岳阳县第一中学2022-2023学年高二下学期入学考试数学试题

岳阳县一中2023年高二下学期入学考试 数 学 一．选择题（共8小题） 1．命题“∃x＞0，x3≥3x+1”的否定是（　　） A．∀x＞0，x3＜3x+1 B．∀x＜0，x3≥3x+1 C．∃x＞0，x3＜3x+1 D．∃x＜0，x3＜3x+1 2．已知复数z满足z＝1+i，则＝（　　） A． B． C． D． 3．已知a＝log2，，，则（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a 4．为促进中学生综合素质全面发展，某校开设5个社团，甲、乙、丙三名同学每人只报名参加1个社团，则不同的报名方式共有（　　） A．60种 B．120种 C．125种 D．243种 5．已知直线l：3x+y﹣5＝0和圆C：x2+y2﹣2y﹣4＝0交于A，B两点，则弦AB所对的圆心角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 6．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，其渐近线方程为y＝±2x，P是C上一点，且PF1⊥PF2.若△PF1F2的面积为4，则C的焦距为（　　） A． B． C． D． 7．已知函数f（x）＝x2+klnx，对任意的x2＞x1＞0，有恒成立，则实数k的取值范围为（　　） A．[0，+∞） B． C． D． 8．在平面内，定点A，B，C，D满足，，动点P，M满足，，则的最大值是（　　） A． B． C． D． 二．多选题（共4小题） （多选）9．设函数f（x）＝cosx﹣sinx，则下列结论正确的是（　　） A．f（x）的周期是2π B．f（x）的图像关于直线x＝对称 C．f（x）在（0，）单调递减 D．f（x）在[0，π]上的最小值为﹣2 （多选）10．数列{an}的首项为1，且an+1＝2an+1，Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是（　　） A．a3＝7 B．数列{an+1}是等比数列 C．an＝2n﹣1 D．Sn＝2n+1﹣n﹣1 （多选）11．已知正四棱锥P﹣ABCD的侧面是边长为6的正三角形，点M在棱PD上，且PM＝2MD，点Q在底面ABCD及其边界上运动，且MQ∥平面PAB，则下列说法正确的是（　　） A．点Q的轨迹为线段 B．MQ与CD所成角的范围为 C．MQ的最小值为 D．二面角M﹣AB﹣Q的正切值为 （多选）12．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，点P（，1）在椭圆内部，点Q在椭圆上，椭圆C的离心率为e，则以下说法正确的是（　　） A．离心率e的取值范围为（0，） B．存在点Q，使得+＝ C．当时，|QF1|+|QP|的最大值为 D．的最小值为1 三．填空题（共4小题） 13．已知的展开式中含x7项的系数为15，则实数a＝　 　． 14．已知＜α＜π，﹣π＜β＜0，tanα＝﹣，tanβ＝﹣，则2α+β＝　 　． 15． 若直线与曲线f（x）＝ex﹣1和g（x）＝ ln（x+1）均相切，则直线l的方程为 　 　． 16．如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A，B，C，若BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程是　 　． 四．解答题（共6小题） 17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足（c+2b）cosA+acosc＝0． （1）求角A的值； （2）若a＝14，c＝6，求△ABC的面积． 18．数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an﹣n． （Ⅰ）求证数列{an+1}是等比数列，并求an； （Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且b3＝a2，b7＝a3，求数列{anbn}的前n项和． 19．如图：用A、B、C、D四类不同的元件连接成系统N，当元件A正常工作且元件B、C都正常工作，或当元件A正常工作且元件D正常工作时，系统N正常工作．已知元件A、B、C、D正常工作的概率依次为． （Ⅰ）求元件A不正常工作的概率； （Ⅱ）求元件A、B、C都正常工作的概率； （Ⅲ）求系统N正常工作的概率． 20．如图1，∠ACB＝45°，BC＝3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC＝90°（如图2所示）， （1）当BD的长为多少时，三棱锥A﹣BCD的体积最大； （2）当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小． 21．已知椭圆C：的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A，B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P点的坐标及l的方程，若不存在，说明理由． 22．已知函数f（x）＝ex