9.4.3 正方形-2022-2023学年八年级数学下册同步重难点精讲精练培优讲义（苏科版）

2022-2023学年苏科版数学八年级下册同步重难点精讲精练培优讲义 9.4.3 正方形 1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系； 2．掌握正方形的性质及判定方法． 考点01：正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 知识要点：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 考点02：正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 知识要点：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 考点03：正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 考点04：特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 【典例分析01】（2022秋•渠县校级期末）如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，P为CE上任一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】连接AC，PB，AC交BD于O，根据S△BCE＝S△BPC+S△BPE，从而BE•OC＝BE•PR+，进一步得出结论． 【规范解答】解：如图， 连接AC，PB，AC交BD于O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，AC＝BC＝， ∴OC＝AC＝， ∵S△BCE＝S△BPC+S△BPE， ∴BE•OC＝BE•PR+， ∵BC＝BE， ∴BE•OC＝BE•PR+BE•PQ， ∴PR+PQ＝OC＝， 故选：A． 【考点评析】本题考查了正方形的性质，面积法等知识，解决问题的关键是熟练地运用面积法． 【典例分析02】（2022秋•皇姑区校级期末）如图，边长为5的正方形ABCD中，点E、G分别在射线AB、BC上，F在边AD上，ED与FG交于点M，AF＝1，FG＝DE，BG＞AF，则MC的最小值为 　﹣2　． 【思路点拨】本题关键搞清M的运动轨迹，有DE＝FG，BG＞AF，可知∠FMD＝90°，所以M到FD的中点H的距离始终相等，在根据三角形三边的关系可得CM的范围，从而确定它的最小值． 【规范解答】解：取FD的中点H，作FK垂直BC于点K， ∵DE＝FG，AD＝FK，∠A＝∠FKG＝90°， ∴△AED≌△KFG（HL）， ∴∠ADE＝∠KFG， 又∵∠FGK＝∠DFM，∠KFG+∠FGK＝90°， ∴∠DFM+∠ADE＝90°， ∴∠FMD＝90°， ∴MH＝＝2， 所以M在以H为圆心，2为半径的圆弧上运动， ∵MC≥CH﹣MH 当M落在CH上时，取到等号 即MC达到最小，最小值为CH﹣M′H＝﹣2． 【考点评析】本题考查正方形的基本性质，和全等直角三角形的判定，解决此类问题的关键是判断动点M的运动轨迹，然后利用三角形三边的关系判断MC何时取到最值． 【随堂演练01】（2023•崂山区一模）已知：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD，BC于点E，F，作BH⊥AF于点H，分别交AC，CD于点G，P，连接GE，GF． （1）求证：△OAE≌△OBG； （2）判断四边形BFGE是什么特殊四边形？并证明你的结论． 【思路点拨】（1）由正方形的性质得出OA＝OB，∠AOE＝∠BOG＝90°，再由角的互余关系证出∠OAE＝∠OBG，由ASA即可证明△OAE≌△OBG； （2）先证明△AHG≌△AHB，得出GH＝BH，由线段垂直平分线的性质得出EG＝EB，FG＝FB；再证出∠BEF＝∠BFE，得出EB＝FB，因此EG＝EB＝FB＝FG，即可得出结论． 【规范解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴OA＝OB，∠AOE＝∠BOG＝90°． ∵BH⊥AF， ∴∠AHG＝∠AHB＝90°， ∴∠GAH+∠AGH＝90°＝∠OBG+∠AGH， ∴∠GAH＝∠OBG， 即∠OAE＝∠OBG． 在△OAE与△OBG中， ， ∴△OAE≌△OBG（ASA）； （2）解：四边形BFGE为菱形；理由如下： 在△AHG与△AHB中， ， ∴△AHG≌△AHB（ASA）， ∴GH＝BH， ∴AF是线段BG的垂直平分线， ∴EG＝EB，FG＝FB． ∵∠BEF＝∠BAE+∠ABE＝67.5°，∠BFE＝90°﹣∠BAF＝67.5°， ∴∠