9.4.2 菱形-2022-2023学年八年级数学下册同步重难点精讲精练培优讲义（苏科版）

2022-2023学年苏科版数学八年级下册同步重难点精讲精练培优讲义 9.4.2 菱形 1. 理解菱形的概念. 2. 掌握菱形的性质定理及判定定理． 考点01：菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 知识要点：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 考点02：菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 知识要点：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 考点03：菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 知识要点：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 【典例分析01】（2023•三水区校级开学）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，菱形ABCD的面积为48，DE＝6，则AD的长为（　　） A．16 B．8 C．4 D．2 【思路点拨】由菱形的性质得AD＝AB，再由菱形的面积求出AB＝8，即可得出结论． 【规范解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB， ∵DE⊥AB， ∴菱形ABCD的面积＝AB•DE＝48， 即6AB＝48， ∴AB＝8， ∴AD＝AB＝8， 故选：B． 【考点评析】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 【典例分析02】（2022秋•新城区校级期末）如图：在菱形ABCD中，AB＝3，过点A作AE⊥BC于点E，交BD于点F，点G为DF的中点．若∠BAG＝90°，则AG的长为（　　） A． B．1 C． D． 【思路点拨】根据菱形的性质得出∠ABD＝∠ADB，进而得出∠ABG＝30°，根据含30度角的直角三角形的性质，以及勾股定理解Rt△ABG，即可求解． 【规范解答】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AD∥BC，AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB． ∵AE⊥BC， ∴AE⊥AD． ∵点G为DF的中点， ∴AG＝DG， ∴∠GAD＝∠GDA， ∴∠AGB＝2∠ADB． ∵∠BAG＝90°， ∴∠AGB+∠ABG＝2∠ADB+∠ABG＝3∠ABG＝90°， ∴∠ABG＝30°． ∴． 故选：D． 【考点评析】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键． 【随堂演练01】（2022秋•新郑市期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AD＝13，AC＝24，DE⊥AB，交AB于E，则DE＝　　． 【思路点拨】由菱形的性质得AB＝AD＝13，AC⊥BD，AO＝OC＝AC＝12，DO＝BO，再由勾股定理得BO＝5，则BD＝10，然后由菱形的面积公式即可解决问题． 【规范解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AD＝13，AC＝24， ∴AB＝AD＝13，AC⊥BD，AO＝OC＝AC＝12，DO＝BO， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：BO＝＝＝5， ∴BD＝2BO＝10， ∵DE⊥AB， ∴S菱形ABCD＝AB•DE＝AC•BD， 即13DE＝×24×10， 解得：DE＝， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解此题的关键． 【随堂演练02】（2022春•西湖区期中）如图，菱形ABCD的周长为40，对角线AC＝10．过AD的中点E作EG⊥AC交AB于点F，交CB的延长线于点G，则EG的长为 　10　． 【思路点拨】由菱形的性质可得AC⊥BD，AB＝10，AO＝CO＝5，BO＝DO，AD∥BC，利用勾股定理可求BO的长，通过证明四边形EGBD是平行四边形，可得BD＝EG＝10，即可求解． 【规范解答】解：如图，连接BD，交AC于点O， ∵四边形ABCD是菱形，周长为40， ∴AC⊥BD，AB＝10，AO＝CO＝5，BO＝DO，AD∥BC， ∴BO＝， ∴BD＝10， ∵EG⊥AC，BD⊥AC， ∴GE∥BD， 又∵AD∥BC， ∴四边形EGBD是平行四边形， ∴BD＝EG＝10，