9.4.1 矩形-2022-2023学年八年级数学下册同步重难点精讲精练培优讲义（苏科版）

2022-2023学年苏科版数学八年级下册同步重难点精讲精练培优讲义 9.4.1 矩形 1. 理解矩形的概念. 2. 掌握矩形的性质定理与判定定理. 考点01：矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 知识要点：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 考点02：矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 知识要点：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 考点03：矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 知识要点：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 考点04：直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 知识要点：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用. （2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半. （3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题. 【典例分析01】（2022春•南岗区校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过点D作AB的垂线，交BC于E，连接CD，AE，CD＝4，AE＝5，则AC＝（　　） A．3 B． C．5 D． 【思路点拨】由直角三角形斜边上的中线可求AB＝8，根据线段垂直平分线的性质可得BE＝AE＝5，再利用勾股定理求得CE的长，进而可求解AC的长． 【规范解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝4， ∴AB＝2CD＝8， ∵ED⊥AB， ∴DE垂直平分AB， ∴BE＝AE＝5， ∵AC2＝AE2﹣CE2＝AB2﹣BC2， ∴52﹣CE2＝82﹣（5+CE）2， 解得CE＝1.4， ∴AC＝． 故选：B． 【考点评析】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质与判定，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 【典例分析02】（2022春•双牌县期末）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝26°，则∠BDC的度数为（　　） A．26° B．48° C．52° D．64° 【思路点拨】根据直角三角形斜边上中线定理得出CD＝AD，求出∠DCA＝∠A，根据三角形的外角性质求出求出即可． 【规范解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线， ∴BD＝CD＝AD， ∴∠A＝∠DCA＝26°， ∴∠BDC＝∠A+∠DCA＝26°+26°＝52°． 故选：C． 【考点评析】本题考查了三角形的外角性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形性质，能求出BD＝CD＝AD和∠DCA的度数是解此题的关键． 【随堂演练01】（2022春•紫阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，以AC为斜边作Rt△ADC．使∠ADC＝90°，∠CAD＝∠CAB，E，F分别是BC，AC的中点，则DE的长为 　2　． 【思路点拨】根据直角三角形的性质得到DF＝AF＝AC＝2，根据三角形的外角性质得到∠DFC＝∠FDA+∠CAD＝60°，根据三角形中位线定理得到EF＝AB，EF∥AB，根据平行线的性质得出∠EFC＝∠CAB＝30°，即可求得∠EFD＝90°，利用勾股定理即可求得ED． 【规范解答】解：∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，F是AC的中点， ∴DF＝AF＝AC＝×4＝2， ∴∠FDA＝∠CAD＝30°， ∴∠DFC＝∠FDA+∠CAD＝60° ∵E、F分别是BC、AC的中点， ∴EF∥AB，EF＝AB＝×4＝2， ∴∠EFC＝∠CAB＝30°， ∴∠EFD＝60°+30°＝90°， ∴ED＝＝＝2． 故答案为：2． 【考点评析】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形中位线定理，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【随堂演练02】（2022春•东城区期末）如图，两段公路A