6.2.4向量的数量积（人教A版2019必修第二册 同步教学课件）

6.2.4 向量的数量积（1） 人教A版（2019）必修第二册 教学目标 1.了解平面向量数量积的物理背景,理解数量积的 含义及其物理意义; 2.体会平面向量的数量积与投影向量的关系,理解并掌握向量数量积的性质,并能运用性质进行相关的判断和运算; 3.体会类比的数学思想和方法,进一步培养抽象概括、推理论证的能力. 温故知新 特点：共起点，连终点，方向指向被减向量 1.向量加法三角形法则: 特点:首尾相接，连首尾 特点:同一起点,对角线 O 2.向量加法平行四边形法则: 3.向量减法三角形法则: B A 温故知新 4.向量的数乘运算： 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。向量的线性运算的结果仍为向量。 新课引入 问题：向量能否相乘呢？如果能，那么向量 的乘法该如何定义？ 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力F的作用下产生位移s（如右图），那么力F所做的功 由初中物理知识可知，功是一个标量，它是由力和位移两个向量来确定，这给我们一种启示，能否把“功”看作两个向量“相乘”的结果呢？ 由此启发，我们引入向量“数量积”的概念。 新课引入 功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积 与 是两个向量的大小及其夹角余弦的乘积 力做功的计算公式中涉及力与位移的夹角，所以我们先要定义向量的夹角。 新课讲解 1.向量的夹角： 已知两个非零向量 、 ，如图，O是平面上的任意一点，作OA= ，OB= ，则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量 与 的夹角. B A o 两个向量的起点相同 记作：〈 ， 〉 例如，在ΔABC中，∠BAC不是CA与AB的夹角，∠BAD才是CA与AB的夹 角.其中AD是CA平移所得. 思考： 2.向量的数量积： 已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，我们把数量 叫做向量 与 的数量积(也叫内积)，记作 ，即 【规定】零向量与任一向量的数量积为0 （1）在书写数量积时， 与 之间用实心圆点“ · ”连接，不能写成“ × ”,更不能不写. （2）向量的线性运算的结果是向量，但两个向量的数量积却是一个数量，而不是向量，其 大小与两个向量的长度以及夹角都有关，符号由夹角的余弦值决定. 1.两个非零向量的数量积符号和这两个向量夹角的取值范围有关系吗？ 2.在三角形ABC中，AB∙AC<0,则三角形ABC是什么三角形？ 钝角三角形 思考： 3.我们规定了 与任意向量的数量积为0，但由 =0，不能推出 或 一定是零向量，这是因为两个向量垂直时，其夹角为90°，此时 ， 故也有 =0 . 0 4.要注意 =0，但0 例题讲解 3.向量的投影向量： 如图①，设 和 是两个非零向量，AB= ，CD= ，我们考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1、B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量 向向量 投影，A1B1叫做向量 在向量 上的投影向量. 如图②，我们可以在平面内任取一点O，作OM= ，ON= .过点M作直线 ON的垂线，垂足为M1，则OM1就是向量 在向量 上的投影向量. 从上面的讨论可知，对于任意的 ，都有 OM1= 探究： 4.向量数量积的性质： 可以用来求向量的模，实现实数运算往向量运算的转化 可用来求两个向量的夹角，夹角的取值与两个向量有关 例题讲解 A 课堂小结 1.向量的夹角： 2.向量的数量积： 3.向量的投影向量： 4.向量数量积的性质： 作业：课本23页 习题6.2 A组第10、11、12题 感谢观看 祝学习进步 例9 已知|a|＝3，|b|＝4，向量a与b的夹角θ为，求：a·b 例1　已知|a|＝3，|b|＝4，向量a与b的夹角θ为120°，求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)|a＋b|；(4)|a－b|. 解析　(1)a·b＝|a||b|cos θ＝3×4×cos 120°＝－6. (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝9＋2×(－6)＋16＝13. (3)|a＋b|＝＝. (4)|a－b|＝ ＝ ＝ ＝. 解题技巧(求向量模的常见思路和方法) (1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系要灵