7.2.2 复数的乘、除运算-2022-2023学年高一数学同步教学课件（人教A版2019必修第二册）

7.2.2 复数的乘、除运算 一、复习回顾 (1)加法法则：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(c+d)i. (2)减法法则：z1-z2=(a+bi)-(c+di) =(a-c)+(b-d)i. 已知复数z1=a+bi, z2=c+di（a, b, c, d是实数） z1+ z2= + = (3)复数加法运算的几何意义 x O y z1(a, b) z2(c, d) z(a+c, b+d) x O y z1(a, b) z2(c, d) 复数z2－z1 向量 (4)复数减法运算的几何意义 |z1-z2|表示什么? 表示复平面上两点z1 , z2的距离。 复平面中点Z1与点Z2间的距离. |z1-z2|表示： 已知两个复数z1=a+bi, z2=c+di（a, b, c, d是实数） (5)复数模的几何意义： Z1(a，b) o x y Z2(c，d) 特别地，|z|表示： 复平面中点Z与原点间的距离. 如：|z+(1+2i)|表示： 点Z(对应复数z)到点(-1，-2)的距离. (a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi2 二、复数乘法运算 我们规定，复数乘法法则如下： 设z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的乘积为： 注意：两个复数的积是一个确定的复数. 即 (a+bi)(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i = (ac-bd)+(ad+bc)i. = ac+adi+bci-bd 可以看出，两个复数相乘, 类似于两个多项式相乘, 只要在所得的结果中把 换成-1，并且把实部与虚部分别合并即可. 思考？复数的乘法是否满足交换律，结合律以及乘法对加法的分配律？请验证乘法是否满足交换律? 容易得到，对任意复数z1，z2 ，z3∈C z1·z2=z2·z1 (交换律) (z1·z2)·z3= z1·(z2·z3) (结合律) z1(z2+z3)=z1·z2+z1·z3 (分配律) 例1 计算(1-2i)(3+4i)(-2+i). 解: (1-2i)(3+4i)(-2+i) =(11-2i)(-2+i) = -20+15i. 例2 计算: (1) (2+3i)(2-3i); (2) (1+i)2. 解: (1)(2+3i)(2-3i) (2)(1+i)2 =22-(3i)2 =4-(-9) =13. =1+2i+i2 =1+2i-1 =2i. 探究！ 类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算.试探求复数除法的法则. 规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足 的复数 叫做复数 除以复数 的商，记作 或 三、复数除法运算 复数除法的法则是: 这里分子分母都乘以分母的“实数化因式” (共轭复数), 从而使分母“实数化”. 例4 在复数范围内解下列方程： (1) x2+2=0 (2)ax2+bx+c=0，其中a, b, c∈R且a≠0, △<0. 解: (1)因为(i )2=(- i )2= -2， 所以方程的根为x=±i . (2)将方程ax2+bx+c=0的二次项系数化为1，得 配方，得 例4 在复数范围内解下列方程： (2)ax2+bx+c=0，其中a, b, c∈R且a≠0, △<0. 解：(2)将方程ax2+bx+c=0化为： 所以原方程的根为： 在复数范围内，实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为： 当△≥ 0时， 例4 在复数范围内解下列方程： (2)ax2+bx+c=0，其中a, b, c∈R且a≠0, △<0. 解：(2)将方程ax2+bx+c=0化为： 所以原方程的根为： 在复数范围内，实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为： 当△≥ 0时， 当△< 0时， 1.复数相乘类似于多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部和虚部分别合并. 2.实数系中的乘法公式在复数系中仍然成立. 3.复数代数形式的除法实质：分母实数化. 四、归纳小结 $