7.1.1 数系的扩充和复数的概念-2022-2023学年高一数学同步教学课件（人教A版2019必修第二册）

7.1.1数系的扩充和复数的概念 在解决求判别式小于 0 的实系数一元二次方程根的问题时，一个自然的想法是，能否像引进无理数而把有理数集扩充到实数集那样，通过引进新的数而使实数集得到扩充，从而使方程变得可解呢？复数概念的引入与这种想法直接相关. 从方程的角度看 , 负实数能不能开平方, 就 是方程x2+a=0(a>0)有没有解，进而可以归结为方程x2+1=0有没有解. 探究！我们知道，方程x2+1=0在实数集中无解. 联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗? 思考？把新引进的数i添加到实数集中，我们希望数i和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律. 那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢？ 依照这种思想，为了解决x2+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i,使得x=i 是方程x2 +1=0的解，即使得i2= −1. 一、复数的概念 (1)复数：形如 的数叫做复数，其中 叫做虚数单位 (2)复数集：全体复数构成的集合 叫做复数集, 通常用大写字母C表示. (3)实部和虚部：复数通常用字母 表示，即 .以后不作特殊说明时， 复数 都有 ，其中的 与 分别叫做复数的实部与虚部. 设复数 时，一定要有 ，否则不能说实部为 ，虚部为 ；不能说虚部为 . 在复数集 中任取两个数 ，我们规定：与 相等, 当且仅当 且 . 二、复数相等 复数不能比较大小，若两个复数可以比较大小，则这两个复数必定都是实数； 例1 已知复数 ，其中 为虚数单位，若z1=z2，求 . 解：由题意有 得 三、复数的分类 对于复数 ，当且仅当 时，它是实数；当且仅当 时，它是实数0；当 时，它叫做虚数；当 且 时，它叫做纯虚数. ≠ 解：(1) 当 满足 即 时， 是实数； 例3 实数 分别取什么值时，复数 是以下的数？ （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数 (2) 当 满足 即 且 时， 是虚数； (3) 当 满足 即 或 时， 是纯虚数. 例4 已知复数 ，若， ，求实数的 值. 解：因为 ，所以 为实数，故 ， 即 ,解得 或 . 当 时， 成立; 当 时， 不满足条件. 所以 1. 虚数单位i的引入，数系的扩充； 2. 复数有关概念： 复数的代数形式: 复数的实部、虚部 复数相等 复数的分类 四、归纳小结 练习：1．符合下列条件的复数一定存在吗？若 存在，请举出例子；若不存在，请说明理由． $