1.4角平分线　课件　2022—2023学年北师大版数学八年级下册

北师大版八年级(下) 1.4角平分线 第一章 三角形的证明 学习目标: 1.角平分线的性质定理 2.角平分线的判定定理 3.三角形三个内角的角平分线的性质 1 情景引入 角平分线上的点有什么性质？你是怎样得到 的？ A O D E B C 1 2 P 新知探究 Ⅰ、证明：角平分线上的点到这个角的两边的距 离相等. A O D E B C P 1 2 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC 上，PD⊥OA于D， PE⊥OB于E. 求证：PD=PE. 证明： ∵ OC是∠AOB的平分线 ∴ ∠1=∠2 ∵ PD⊥OA， PE⊥OB ∴ ∠PDO=∠PEO=90° 在△PDO和△PEO中 ∠1=∠2 ∠PDO=∠PEO PO=PO ∴△PDO≌△PEO (AAS) ∴PD=PE 新知归纳 角平分线性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 合作交流 ⅰ、你能写出定理“角平分线上的点到这个角的 两边的距离相等.”的逆命题吗？ 改写成“如果…，那么…”的形式： 如果一个点是角平分线上的点，那么这个点 到角的两边的距离相等. 逆命题为： 如果一个点到角的两边距离相等，那么这个 点在这个角的平分线上. Ⅱ、怎样证明“在一个角的内部，到角的两边距离 相等的点在这个角的平分线上”呢？ 新知探究 C A O D E B P 已知：如图，点P在∠AOB内部，PD⊥OA于D， PE⊥OB于E，且PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上. 证明： ∵ PD⊥OA， PE⊥OB ∴ ∠PDO=∠PEO=90° 在Rt△PDO和Rt △PEO中 PD=PE PO=PO ∴ Rt △PDO≌ Rt△PEO (HL) ∴∠POD=∠POE 过点P作射线 OC 即点P在∠AOB的平分线上 新知归纳 角平分线判定定理： 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 范例讲解 例1、已知：如图，△ABC中，∠BAC=60°， 点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂 足分别为E、F，且DE=DF，求DE的长。 A B C D E F 解： ∵ DE⊥AB， DF⊥AC且DE=DF ∴ AD平分∠BAC 在 Rt △ADE中，∠AED=90°，AD=10 ∴DE= AD= ×10=5 又∵ ∠BAC=60° ∴ ∠BAD=30° 合作交流 ⅱ、你会用尺规作角的平分线吗？ 作法： 1、 在OA、OB上分别截取OD=OE； 3、作射线OC. D E A O B 已知：如图，∠AOB. 求作：射线OC，使∠AOC= ∠AOB. 2、分别以点D、E为圆心，大于 DE的长为半 径作弧，两弧在内部交于点C； C ∴射线OC就是∠AOB的平分线. 你会证明吗？ 如图，已知：AD⊥OB于D，BC⊥OA于C，AD、BC相交于E，且EA=EB. 求证：EO为∠AOB的平分线 【证明】∵AD⊥OB,BC⊥OA, ∴∠BDE＝∠ACE＝90°, 又∵∠BED＝∠AEC,EB＝EA, ∴△BDE≌△ACE(AAS) ∴DE=CE. ∴EO为∠AOB的平分线. 新知探究 Ⅲ、求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并 且这一点到三条边的距离相等. A B C P M D N F E 已知：如图，△ABC中，角平分线BM与角 平分线CN相交于点P， 过点P分别作 AB 、 BC、AC的垂线，垂足分别为 D、E、 F. 求证：∠A的平分线经过点P,且 PD=PF=PF. 证明： ∵BM 是∠ABC的平分线，点P在BM上 ∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等) 同理，PF=PE ∴PD=PE=PF ∴点P在∠A的平分线上 即 ∠A的平分线经过点P (在一个角的内部，且到角的两边 距离相等的点，在这个角的平分线上) A B C P M D N F E PD⊥AB,PE⊥BC 新知归纳 三角形三条角平分线定理： 三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 范例讲解 例1、如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°， AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E. (1)已知CD=4cm，求AC的长； (2)求证：AB=AC+CD. (1)解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90