1.1.2 等边三角形　　课件　2022—2023学年北师大版数学八年级下册

1.1.2 等边三角形 学习目标： 1.掌握等边三角形的判定方法 2.熟悉并掌握等边三角形的5条性质并能灵活运用 2.拓展视野 一、等边三角形的定义判定 A B C 等边三角形： ① 又称正三边形，为三边相等的三角形； ② 其三个内角相等，均为60°； ③它是锐角三角形的一种 另外： ①等边三角形也是最稳定的结构。 ②等边三角形是特殊的等腰三角形， ∴等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。 例：已知等腰△ABC，AB=AC，请你再添加一个条件，使得△ABC为等边三角形。 A B C 等边三角形的判定方法： ①三角形 + 三边相等 ②三角形 + 三个内角都是60° ③等腰三角形 + 有一个角是60° ①：∠A=60°或∠B=60°或∠B=60° ②：AB=BC 或 AC=BC 一、等边三角形的定义判定 在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，连接AO,AO恰好平分∠BAC，若∠BOC=60°，试判断△BOC的形状。 解：△BOC是等边三角形，理由如下： ∵AO恰好平分∠BAC ∴∠1=∠2 在△ABO和△ACO中 AB=AC ∠1=∠2 AO=AO ∴△ABO≌△ACO（SAS） ∴OB=OC 又∵∠BOC=60° ∴△BOC是等边三角形 当堂训练 A B C O 1 2 如图，D为等边三角形△ABC的边AC上一点，且∠1=∠2，BD=CE，试判断△ADE的形状，并证明的你的结论。 拓展训练 A B C D E 2 1 3 4 解：△ADE是等边三角形，理由如下： ∵△ADE是等边三角形 ∴AB=AC，∠3=60° 在△ABD和△ACE中 AB=AC ∠1=∠2 BD=CE ∴△ABD≌△ACE（SAS） ∴∠4=∠3=60°且AD=AE ∴△ADE是等边三角形 二、等边三角形的五条性质 性质1：三边相等且三个内角都是60° 例1：如图为等边三角形△ABC，已知AB=AC=BC，求∠A、∠B、∠C的度数。 A B C 解：由等腰三角形性质可知“等边对等角” ∵AB=AC，BA=BC,CA=CB ∴∠B=∠C，∠A=∠C，∠A=∠B ∴∠A=∠B=∠C 又∠A+∠B+∠C=180°（内角和） ∴∠A=∠B=∠C=180°÷3=60° 二、等边三角形的五条性质 性质2：“三线合一” 例2：如图为等边三角形△ABC，AD⊥BC于点D，求证：AD是△ABC的“三线合一”。 A B C D 解： ∵△ABC是等边三角形 ∴AB=AC，∠B=∠C=60° 又∵AD⊥BC ∴∠ADB=∠ADC=90° 在△ABD和△ACD中 ∠ADB=∠ADC ∠B=∠C AB=AC ∴△ABD≌△ACD（AAS） ∴∠BAD=∠CAD且BD=CD ∴AD是△ABC的三线合一 二、等边三角形的五条性质 性质3：它是拥有三条对称轴的轴对称图形 例3：如图为等边三角形△ABC，请作出它的对称轴 A B C A B C A B C 对称轴是每条边上的中线、高线或角的平分线所在的直线。 二、等边三角形的五条性质 性质4：等边三角形重心、内心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（三心合一） 例4：如图为等边三角形△ABC，请分别作出它的三边的中线、高线和角平分线。 A B C O 解：重心是三边中线的交点； 内心是三个内角角平分线的交点； 垂心是三边高线的交点； 由图可知， 等边三角形的三心重合于一点 称“三心合一”， 点O为此等边三角形的中心。 二、等边三角形的五条性质 性质5：等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值（等于其高） 例5：如图为等边三角形△ABC，点O为△内任意一点，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，AG⊥BC且AG=6，求OD+OE+OF的值。 A B C . G D E F O A B C . G D E F O 解：如图，连接AO，BO，CO 1.已知△ABC是等边三角形， 则∠1+∠2=_______° 2.如图，等边△OAB的边长为4，则点B的坐标 是________。 三、用等边三角形的性质解决简单的几何问题 A B C 1 2 A B O x y 题1 题2 120 如图，在△ABC中，AB=AC，E点在AB上，F点在AC的延长线上，且BE=CF，EF与BC相交于点G，求证：EG=FG。 四、等腰三角形的判定和性质的综合应用 A B C E F G 证明：如图，过点E作EM∥AC(AF)交BC于点M ∴∠1=∠2，∠3=∠F 又∵AB=AC ∴∠B=∠2 ∴∠1=∠B ∴BE=ME 又∵B