9.5 三角形的中位线-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学下册同步精品讲义（苏科版）

第9章 中心对称图形——平行四边形 9.5 三角形的中位线 课程标准 课标解读 探索并证明三角形的中位线定理。 1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理． 2. 掌握中点四边形的形成规律. 知识点 三角形的中位线 1.三角形的中位线 （1）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. （2）定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 【微点拨】（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 2.顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. (4)顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 【微点拨】新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 【即学即练1】如图，A、B两点被一座山隔开，M、N分别是、中点，测量的长度为，那么的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形中位线定理即可求得的长度． 【详解】∵M、N分别是、中点，且， ∴是的中位线， ∴； 故选：B． 【即学即练2】如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB＝8cm，AC＝10cm，则四边形ADEF的周长等于（　　）cm． A．14 B．18 C．20 D．24 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理可得DE＝AC＝5cm，EF＝AB＝4cm，即可求解． 【详解】解：∵点D、E、F分别是边AB、BC、CB的中点，AB＝8cm，AC＝10cm， ∴AD＝AB＝4cm，DE＝AC＝5cm，AF＝AC＝5cm，EF＝AB＝4cm， ∴四边形ADEF的周长＝AD＋DE＋EF＋AF＝18cm， 故选：B． 考法 与三角形中位线有关的证明 【典例1】如图，在中，、分别是、的中点．，延长到点，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)菱形的面积为 【分析】（1）根据已知条件得出为的中位线，根据已知条件进而得出且，得出四边形是菱形 （2）根据已知条件得出，则为等边三角形，求得菱形的面积为面积的2倍，根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】（1）为的中点， 为的中位线， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∵ 四边形是菱形； （2）， ， ， ； 四边形是菱形， ， 为等边三角形， 菱形的面积为：． 【典例2】如图，四边形为平行四边形，为上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接．为的中点，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】（1）根据平行四边的性质得出，，根据，，可得是的中位线，等量代换得出，可得，即可得证； （2）根据平行四边形的性质得出，求得，根据，由等边对等角即可求解． 【详解】（1）解：证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 是的中位线， ，， 为的中点， ，   ，， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形， ， ， ， ，   ． 题组A 基础过关练 1．三角形的下列四种线段中一定能将三角形分成面积相等的两部分的是（    ） A．角平分线 B．中位线 C．高 D．中线 【答案】D 【分析】根据角平分线，中位线，高，中线的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、三角形的角平分线把三角形分成两部分，这两部分的面积比分情况而定；（下图中两部分面积显然不等） B、三角形的中位线把三角形分成两部分，这两部分的面积经计算得：三角形面积为梯形面积的； C、三角形的高把三角形分成两部分，这两部分的面积比分情况而定；（下图中两部分面积显然不等） D、三角形的中线把三角形分成两部分，的面积为，面积为； 因为为中线，所以为中点，所以， 所以的面积等于的面积． 三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． 故选：D． 2．如图，为测量BC两地的距离，小明在池塘外取点A，得到线段AB，AC，并取线段AB，AC的中点D，E，连接DE．测得DE的长为7米，则B，C两地的相距（    ） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 【答案】C 【分析】根据中位线定理即可进行解答． 【详解】解：∵点D、E是AB、AC的中