9.4 矩形、菱形、正方形-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学下册同步精品讲义（苏科版）

第9章 中心对称图形——平行四边形 9.4 矩形、菱形、正方形 课程标准 课标解读 探索并证明矩形、菱形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直。探索并证明矩形、菱形的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。正方形既是矩形，又是菱形；理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系。 1. 理解矩形的概念，掌握矩形的性质定理与判定定理。 2. 理解菱形的概念，掌握菱形的性质定理及判定定理。 3．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；掌握正方形的性质及判定方法。 知识点01 矩形 1.矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 【微点拨】矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 2.矩形的性质 （1）矩形具有平行四边形的所有性质； （2）矩形的对角线相等； （3）矩形的四个角都是直角； （4）矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 【微点拨】（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 3.矩形的判定 （1）定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 【微点拨】在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 4.直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 【微点拨】（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用. （2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半. （3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题. 【即学即练1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，交BD于点E，，则的度数为（    ） A．40° B．35° C．30° D．25° 【答案】B 【分析】根据矩形的性质可得OA=OD，从而得到∠ADO=55°，再由，即可求解． 【详解】解：在矩形ABCD中，OA=OD， ∴∠ADO=∠DAO， ∵∠AOB=∠ADO+∠DAO，， ∴∠ADO=55°， ∵，即∠AED=90°， ∴∠DAE=35°． 故选：B 【即学即练2】如图，把矩形纸片纸沿对角线折叠，设重叠部分为，那么下列说法错误的是（    ） A．是等腰三角形 B． C．折叠后得到的图形是轴对称图形 D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得到，，再由对顶角相等得到，可推出≌，根据等腰三角形的性质即可得到结论，即可判断A、C、D，无法判断和是否相等． 【详解】四边形是矩形， ，， 在和中， ， ； ， 是等腰三角形； 折叠后得到的图形是轴对称图形； 无法判断和是否相等， 故其中正确的是A、C、D， 故选：B． 知识点02 菱形 1.菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 【微点拨】菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 2.菱形的性质 （1）菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： （2）菱形的四条边都相等； （3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. （4）菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 【微点拨】（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 3.菱形的判定 （1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形. （3）四条边相等的四边形是菱形. 【微点拨】前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基