2023年中考数学专题复习：一道关于中位线的探究题详解

一道关于中位线的探究题详解 三角形的中位线定理是一个很重要且有趣的定理,定理内容包含了两条线段之间的数量关系和位置关系,有着非常重要的应用.对中位线定理的考查,出现了中位线模型. 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半. 几何图形的美,在于对称美,对于圆来说,它既是轴对称图形（经过圆心的直线都是圆的对称轴,圆有无数条对称轴）,又是中心对称图形（对称中心是圆心）,所以人们称圆是最完美的几何图形. 当然,人们对圆的赞美绝不仅仅在于它的对称性,而更在于有关圆的性质定理和结论有着非常重要且广泛的应用,这样的例子很多.下面的问题通过添加圆辅助线,能巧妙地解决几何中的某些最值问题. 与圆有关的重要结论 如图（1）所示,点P是⊙O外一点, 点A是⊙O上一动点,连结OA、PA,则 有下列重要结论: （1）当点A为OP与⊙O的交点时,线段PA的长度取得最小值,如图（2）所示; （2）当点A为PO的延长线与⊙O的交点时,线段PA的长度取得最大值,如图（3）所示. 例 【教材呈现】如图是华师九年级上册数学教材第77页的部分内容 猜想 如图23.4.2,在△ABC中,点D、E分别 是AB与AC的中点,根据画出的图形,可以猜 想:,且. 对此,我们可以用演绎推理给出证明. 【定理证明】 （1）请根据材料内容,结合图①,写出证明过程. 【定理应用】 （2）如图②,四边形ABCD中,M、N、P分别为AD、BC、BD的中点,边BA、CD的延长线交于点E,,则的度数是_________. （3）如图③,矩形ABCD中,,点E在边AB上,且.将线段AE绕点A旋转一周,得到线段AF,M是线段CF的中点,直接写出旋转过程中线段BM长的最大值和最小值. （1）证明:∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴ ∵ ∴△ADE∽△ABC ∴ ∴. （2）解:; 提示 方法一:如图所示,延长MP交BC于点G. ∵M、N、P分别为AD、BC、BD的中点 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴. 方法二: 如图所示,延长PM、NP,分别交CE、BE于点G、H ∵M、N、P分别为AD、BC、BD的中点 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴. （3）解: BM长的最大值为4,最小值为1. 提示 方法一: 连结AC,取AC的中点O, 连结OM、OB 由题意可知,OM是△ACF的中位线 ∴ 在Rt△ABC中,由勾股定理得: ∴ 显然,在旋转的过程中,点M在以点O 为圆心,以的长为半径的⊙O上 当点M为BO的延长线与⊙O的 交点时,BM的长取得最大值,最大值为,当点M为OB 与⊙O的交点时,BM的长取得最小值,最小值为. 方法二: 延长CB至点G,连结GF,构造以点A为圆心,以AF的长为半径的圆,如图所示,连结AG,由勾股定理求得 易知BM是△CFG的中位线,所以,故BM的最值取决于GF的最值. 当点F为GA的延长线与⊙A的交点时,GF的长取得最大值,最大值为: ,所以BM的长的最大值为4;当点F为AG与⊙A的交点时,GF的长取得最小值,最小值为,所以BM的长的最小值为1. 练习 1. 如图（4）所示, AB是半圆O的直径,AB=6,PA为⊙O的切线,PA=4,点C为⊙O上一动点,则PC的最小值为________. 2. 如图（5）所示,正方形ABCD的边长为2,点E、F为AD边上的两个动点,且AE=DF,连结BD、BE、CF,BD与CF交于点G,连结AG,交BE于点H,则线段DH的最小值是________. 3. 如图（6）所示,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,点M是AD边的中点,点N是AB边上的一动点,将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN,则A′C长度的最小值是________. 解析 1. 解:连结OP,与半圆O交于点C,此时PC取得最小值. ∵PA是⊙O的切线 ∴ 在Rt△AOP中,由勾股定理得: ∴ 即PC的最小值为2. 2. 解:∵四边形ABCD为正方形 ∴ 在△ABE和△DCF中 ∵ ∴△ABE≌△DCF（SAS） ∴ 同理可证:△ADG≌△CDG ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点H在以AB为直径的⊙O上 如图所示,连结OD,当点H为OD与⊙O的交点时,DH取得最小值. 在Rt△AOD中,由勾股定理得: ∴. 即DH的最小值为. 3. 解: ∵点M是AD边的中点 ∴ 由折叠可知: ∴ ∴点A、D、在以点M为圆心,以AM的长为半径的圆上,如左图所示. 当点为CM与⊙M的交点时,的长取得最小值. 过点M作,交CD的延长线于点E. ∵四边形ABCD为菱形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 在Rt△CEM中,由勾股定理得: ∴ 即的最小值为. 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $