平面向量的概念及运算 辅导讲义-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级：高一 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 授课主题 平面向量的概念及运算 授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结 教学目标 1 通过实例，掌握向量加、减法及数乘运算，并理解其几何意义； 2 了解平面向量的基本定理及其意义，会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； 3 理解平面向量数量积的含义及其物理意义，能够利用坐标进行数量积运算； 4 利用数量积求解两个向量的夹角问题。 授课日期及时段 T（Textbook-Based）——同步课堂 ( 体系搭建 ) ( 知识梳理 ) 一、向量的有关概念 1．向量： 既有大小又有方向的量叫做向量．向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度)． 2．向量的表示方法： （1）字母表示法：如等． （2）几何表示法：用一条有向线段表示向量．如，等． （3）坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量的起点为在坐标原点，终点A坐标为，则称为的坐标，记为=． 3．相等向量： 长度相等且方向相同的向量．向量可以自由平移，平移前后的向量相等．两向量与相等，记为． 4．零向量： 长度为零的向量叫零向量．零向量只有一个，其方向是任意的． 5．单位向量： 长度等于1个单位的向量．单位向量有无数个，每一个方向都有一个单位向量． 6．共线向量： 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量．任一组共线向量都可以移到同一直线上．规定：与任一向量共线． 注：共线向量又称为平行向量． 7．相反向量： 长度相等且方向相反的向量． 二、向量的运算 1．运算定义 运 算 图形语言 符号语言 坐标语言 加法与减法 += = 记=(x1，y1)，=(x2，y2) 则=(x1+x2，y1+y2) =(x2-x1，y2-y1) += 实数与向量的乘积 记=(x，y) 则 两个向量的数量积 记 则=x1x2+y1y2 2．运算律 加法： ①(交换律)； ②(结合律) 实数与向量的乘积： ①； ②；③ 两个向量的数量积： ①·=·； ②()·=·()=(·)；③(+)·=·+· 3．运算性质及重要结论 (1)平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合． ①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底； ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的． ③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础． 向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标， 即若A(x，y)，则=(x，y)；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(x2-x1，y2-y1) (2)两个向量平行的充要条件 符号语言： 坐标语言为：设非零向量，则∥(x1，y1)=(x2，y2)，或x1y2-x2y1=0． (3)两个向量垂直的充要条件 符号语言： 坐标语言：设非零向量，则 (4)两个向量数量积的重要性质： ① 即 (求线段的长度)； ②(垂直的判断)； ③ (求角度)． ( 典例分析 ) 题型1：平面向量的概念 1．下列说法正确的是（　　） A．零向量没有方向 B．向量就是有向线段 C．只有零向量的模长等于0 D．单位向量都相等 2．下列说法正确的是（　　） A．若向量，满足||＞||，且与同向，则＞ B．若∥且∥，则∥ C．向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线 D．非零向量与非零向量满足∥，则向量与方向相同或相反 3．在如图所示的向量，，，，中（小正方形的边长为1），是否存在： （1）是共线向量的有　 　；（2）是相反向量的为　 　；（3）相等向量的　 　； （4）模相等的向量　 　． 题型2：平面向量的加法运算 4．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＝（　　） A． B． C． D． （多选）5．设向量 ＝，是任一非零向量，下列结论中正确的有 （　　） A．∥ B．+＝ C．|+|＝||+|| D．＝0 6．已知P是△ABC所在平面内一点，满足，则P是△ABC的（　　） A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心 7．如图所示，已知矩形ABCD中，||＝4，设＝，＝，＝，那