3.1.1椭圆及其标准方程讲义-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.1椭圆及其标准方程 课前探究 取一条定长的细绳, 把它的两端都固定在图板的同一点, 套上铅笔, 拉紧绳子, 移动笔尖, 这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆. 如果把细绳的两端拉开一段距离, 分别固定在图板的两点F1, F2, 套上铅笔, 拉紧绳子, 移动笔尖, 画出的轨迹是什么曲线? 通过动手操作可知，画出的轨迹是椭圆 一、椭圆的概念 1、平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于定长(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点F1、F2叫作椭圆的焦点，两焦点的距离|F1F2|叫作椭圆的焦距． 2、概念解读 ①在平面内----(这是前提条件)否则在空间条件下为椭球； ②动点M到两个定点F1, F2的距离之和是常数，通常设为2a，即 ③在椭圆定义中，条件2a>|F1F2|，否则若2a<|F1F2|，则这样的点不存在；若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是线段． 3、椭圆标准方程的推导 如图所示, 建立平面直角坐标系.设M(x,y)是椭圆上任一点, 椭圆的焦距为2c(c >0), M与F1、 F2的距离的和等于常数2a(a >0), 则 解：由定义可知：，即 化简整理得： 上次两边同时除以，得 由椭圆定义可知，，即，，为了使方程形式更简单，设 则方程变为：（），我们把这个方程称为椭圆的标准方程 二、椭圆的标准方程的两种形式 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图像 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 【例1】a＝5，c＝3，焦点在x轴上的椭圆标准方程为 ． 【例2】椭圆＋＝1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为(　 　) A．3　 B．6 C．4 D．10 【例3】椭圆＋＝1上一点A到焦点F的距离为2，B为AF的中点，O为坐标原点，则|OB|的值为(　 　) A．8　　 　 B．4 C．2 D． 【例4】椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是(　　) A．9 B．12或4 C．9或7 D．20 【例5】动点M到两点A(－1,0)、B(1,0)的距离和为2，则动点M的轨迹是(　 　) A．椭圆　　　　　 B．线段 C．直线 D．不存在 【例6】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1) 焦点在y轴上，且过点(0,2)和(1,0)； (2)已知椭圆E的两焦点分别为(－1,0)，(1,0)，且经过点 提升练习 【例7】设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积？ 【例8】设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且∠F1PF2＝°，（叫做焦点三角形）求证： 【例9】已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程． 【例10】如图，在圆上任意一点P , 过点P作x轴的垂线段 PD, D为垂足. 当点P在圆上运动时, 线段 PD中点M的轨迹是什么？为什么？ 课后练习 1．已知△ABC的两个顶点的坐标A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1(y≠0) C．＋＝1(y≠0) D．＋＝1(y≠0) 2．已知P是椭圆x2＋5y2＝25上一点，F1，F2为椭圆的左，右焦点，且|PF1|＝7，则|PF2|＝( 　　) A．1 B．3 C．5 D．9 3．若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是( 　　) A．－9＜m＜25 B．8＜m＜25 C．16＜m＜25 D．m＞8 4．已知椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是(　 　) A．＋x2＝1 B．＋y2＝1或x2＋＝1 C．＋y2＝1 D．以上都不对 5．AB为过椭圆＋＝1中心的弦，F(c,0)为椭圆的左焦点，则△AFB的面积最大值是(　 　) A．b2　　　　 B．bc C．ab D．ac 6．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上．若P、F1、