2023年中考数学专题复习：模考中菱形的最值问题

模考中菱形的最值问题 2023九年级数学中考专题复习 1.如图,菱形的面积是,对角线交于点,,若点是的中点,点在线段上,则周长的最小值为 A. B. C.8 D.16 2.如图,菱形的边长为2,且,是的中点,为上一点且的周长最小,则的周长的最小值为 A. B. C. D. 3.如图,点是菱形内任意一点,,,点和点分别是射线,上的动点,则周长的最小值是 A.2 B. C.4 D. 4.如图,在边长为1的菱形中,,将沿射线的方向平移得到△,分别连接,,,则的最小值为 A.1 B. C. D.2 5.如图,菱形中,对角线,,、分别是、的中点,是线段上的一个动点,则的最小值是 . 6.如图,菱形中,对角线,交于点,点,分别在对角线和边上,连接,,若,,则,之和的最小值为 . 7.如图,在边长为2的菱形中,,将沿直线平移得到△,连接、,则的最小值为 . 8.如图,在菱形中,过点作交对角线于点,连接,点是线段上一动点,作关于直线的对称点,点是上一动点,连接,.若,,则的最大值为 . 9.提出问题 如图1,,是直线同侧的两个点,如何在上找到一个点,使得这个点到点,的距离的和最短? 分析问题 如图2,若,两点在直线的异侧,则连接,与直线交于一点,根据“两点之间线段最短”,可知该点即为点.因此,要解决上面提出的问题,只需要将点(或点移到直线的另一侧的点处,且保证(或即可; 解决问题 (1)在图1中确定点的位置(要求尺规作图,不写作法,保留作图痕迹); (2)如图3,在菱形中,,,是边的中点,是对角线上的一个动点,则的最小值为 . 10.问题探究 (1)如图1,在四边形中,连接,,,,求的面积; 问题解决 (2)如图2,有一个菱形广场,已知米,,连接.现计划对这个广场进行绿化.在和区域种植绿植,且满足点、、分别在、、上,,,为了节省成本,要求种植绿植的区域面积尽可能的小,问与的面积之和是否存在最小值,若存在,请求出其最小值;若不存在,请说明理由. 11.【问题发现】数学小组成员小明做作业时遇到以下问题:请你帮助解决 (1)若四边形是菱形,边长为2,,点是射线上一动点,以为边向右侧作等边,如图1,连接、,则与的数量关系为 ,长度的最小值为 . 【类比探究】数学小组对该问题进一步探究,请你帮助解决: (2)如图2,若四边形是正方形,边长为2,点为中点,点是射线上一动点,以为斜边在边的右侧作等腰,,连接、.求: ①与的数量关系; ②求长度的最小值. 【拓展应用】 (3)如图3,在(2)的基础上,当是对角线的延长线上一动点时,以为直角边在边的右侧作等腰,,连接,若,,求的面积. 12.阅读材料: 平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔德费马提出的一个著名的几何问题.1643年,在一封写给意大利数学家和物理学家托里拆利的私人信件中,费马提出了下面这个极富挑战性和趣味性的几何难题,请求托里拆利帮忙解答: 给定不在一条直线上的三个点,,,求平面上到这三个点的距离之和最短的点的位置. 托里拆利成功地解决了费马的问题.后来人们就把平面上到一个三角形的三个顶点,,距离之和最小的点称为的费马托里拆利点,也简称为费马点或托里拆利点. 问题解决: (1)费马问题有多种不同的解法,最简单快捷的还是几何解法.如图1,我们可以将绕点顺时针旋转得到,连接,可得为等边三角形,故,由旋转可得,因此,由 可知,的最小值与线段 的长度相等; (2)如图2,在直角三角形内部有一动点,,,连接,,,若,求的最小值; (3)如图3,菱形的边长为4,,平面内有一动点,在点运动过程中,始终有,连接、,在内部是否存在一点,使得最小,若存在,请直接写出的最小值;若不存在,请说明理由. 13.(1)模型建立:如图1,在中,是上一点,,求证:. (2)类比探究:如图2,在菱形中,、分别为、上的点,且,射线交的延长线于点,射线交的延长线于点,若,,. 求:①的长; ②的长. (3)解决问题:如图3,在菱形中,,,点为的中点,在平面内存在点,且满足,以为一边作(顶点、、按逆时针排列),使得,且,请直接写出的最小值. 14.如图,在菱形中,对角线,相交于点,且,,点从点出发,沿着方向匀速运动,速度为;同时,直线从点出发,沿着方向匀速移动,速度为.且分别与、、交于点、、;当直线停止移动时,点也停止运动,连接,设运动时间为,请解答下列问题: (1)用含的代数式表示. (2)为何值时,四边形是平行四边形? (3)是否存在,使得四边形面积最大?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 答案版 1. 【解答】解:连接交于,连接, 由菱形的对角线互相垂直平分,可得、关于对称,则, , 即就是的最小值, , , , 是等边三角形, , (等腰三角形三线合一的性质). 设菱形的边长为, , 菱