专题 全等三角形模型——三垂直与三等角-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年七年级数学下册同步精讲精练(北师大版)

全等三角形模型——三垂直与三等角 三垂直模型 如右图已知：∠ D=∠ E=∠ BCA=90，BC=BA； 求证：△BCD≌△CAE. ∵∠D+∠ DCB+∠ B=180°，∠BCA+∠ DCB+∠ ACE=180°，且∠ D=∠BCA. ∴∠ B=∠ ACE. 又 ∵∠ D=∠ E，BC=BA. ∴△BCD≌△CAE. 常见的三垂直模型: 1. 如图，是等腰直角三角形，过直角顶点，，则下列结论正确的个数有　　 ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据直角三角形的性质推出，然后利用证明和全等，根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等即可对各小题进行判断． 【解答】解：， ， 是等腰直角三角形，为直角顶点， ，， ， 在和中， ， ， ，，， 故①小题正确，②小题错误，③小题错误，④小题正确， 所以结论正确的有①④共2个． 故选：． 2. （2022秋•文登区期中）在中，，． （1）如图①，是过点的一条直线，且，在的同侧，于，于．写出，，间的数量关系，并写明理由； （2）如图②，是过点的一条直线，且，在的两侧，于，于．写出，，间的数量关系，并写明理由． 【分析】（1）由“”可证，可得，，可求； （2）由“”可证，可得，，可求． 【解答】解：（1）． 理由如下：，， ， ， ， ， ， ， ，， ． （2）． ，， ， ， ， ， ， ， ，， ． 3. （2020秋•通河县期末）综合与实践． 积累经验 （1）我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在中，，，线段经过点，且于点，于点．求证：，”这个问题时，只要证明，即可得到解决，请写出证明过程； 类比应用 （2）如图2，在平面直角坐标系中，中，，，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标． 拓展提升 （3）如图3，在平面直角坐标系中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为　 　． 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质可得出答案； （2）过作轴于，先证，再证明，可得，，即可解决问题； （3）过点作轴于点，过点作交的延长线于点，过点作于点，由全等三角形的性质得出，，则可得出答案． 【解答】（1）证明：， ，而于，于， ，， ， 在和中， ， ， ，； （2）解：过作轴于，如图2所示： ，， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为． （3）解：如图3，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，过点作于点， 同（1）（2）可得， ，， ，， ，， ， 点的纵坐标为，横坐标为， ． 故答案为：． 4. （2021秋•临沂期末）如图，，，，，垂足分别为，，，，求的长． 【分析】先证明，得，，然后根据线段和差定义即可解决． 【解答】解：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 5. （2020秋•赫山区期末）如图所示，直线一侧有一个等腰，其中，．直线过顶点，分别过点，作，，垂足分别为点，，的角平分线交于点，交于点，连接，恰好满足．延长，交于点． （1）求证：； （2）求证：． 【分析】（1）证得，根据证明即可． （2）证明，由全等三角形的性质得出．证得，则可得出结论． 【解答】证明：（1），， 又， ． ． 在和中， ， ， ； （2），， ． 在和中， ， ， ． ． 平分，， ． ． 综上，． 6. （2022春•清苑区期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到　　，　　．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； 【模型应用】 （2）①如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点； ②如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为平面内任一点．若是以为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等解答； （2）①作于，于，证明，根据全等三角形的性质得到，再证明，根据全等三角形的性质证明结论； ②过点作轴于点，过点作轴于点，仿照①的证明过程解答． 【解答】解：（1）， ， 在和中， ， ，， 故答案为：；； （2）①如图2，作于，于， ， ， ， ， ， 在与中，， ， ， ， 同理，， ， ，， ， 在与中， ， ，即点是的中点； ②如图3，和△是以为斜边的等腰直角三角形， 过点作轴于点，过点作轴于点，两直线交于点， 则四边形为矩形， ，， 由①可知，， ，， ， ， 解得，，， 点的坐标为， 同理，点的坐标为， 综上所述，是以为斜边的等腰直角三角形，点的坐标为或． 7. 如图，． （1）如图①，在平面直角坐标系中，以为顶点，为腰在第三象限作等腰，若，求