专题 全等三角形模型——手拉手模型与半角模型-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年七年级数学下册同步精讲精练(北师大版)

全等三角形模型——手拉手模型与半角模型 手拉手模型 特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点，如图所示 结论：（1）△ABD≌△AEC （2）∠+∠BOC=180° （3）OA平分∠BOC 变形： 1. 如图，以的边，为边，向外作等边和等边，连接，相交于点． （1）求证：． （2）求的度数． （3）求证：平分． （4）求证：． 2. 等边和等边如图所示，连接与，证明：（1）；（2）与的夹角为；（3）延长线与的交点设为，求证：平分． 3. （2021春•宁阳县期末）如图两个等腰直角与，，连接，交于点． 证明：（1）； （2）． 4. 如图，两个等腰与，连接，交于点，连接．求证：． 5. 如图，两个正方形和，连接与，二者相交于．问： （1）求证：． （2）与的关系？并说明理由． （3）求证：平分． 6. （2021秋•南岗区校级期中）已知：，，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，、交于点，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过作于，在上取点，连接并延长至，使，连接，若，求的度数． 7. （2021秋•天河区期末）是等边三角形，点是边上动点，，把沿对折，得到△． （1）如图1，若，则　　． （2）如图2，点在延长线上，且． ①试探究，，之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由． ②若，，求的长．（用含的式子表示） 半角模型 图形中，往往出现90°套45°的情况，或者120°套60°的情况。还有套的情况。求证的结论一般是线段的和与差。解决的方法是：截长补短构造全等三角形。旋转移位造全等，翻折分割构全等。截长法，补短法。 8. （2021秋•东坡区期末）如图，是边长为6的等边三角形，，，以点为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连结，则的周长是 　　． 9. 已知，如图，四边形是正方形，、分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法 （1）在图1中，连接，为了证明结论“”，小明将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小明的思路写出证明过程； （2）如图2，当的两边分别与、的延长线交于点、，连接，试探究线段、、之间的数量关系，并证明． 10. （2020秋•荔湾区期末）如图，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，求证：． 11. 已知：边长为1的正方形中，、分别是、上的点． （1）若，求证：； （2）若得周长为2，求的度数． 12. （2020秋•新建区校级期中）（1）如图（1），在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接．若，探索线段、、之间的数量关系，并加以证明； （2）如图（2），在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交、于、两点，连接，探索线段、、之间的数量关系，并加以证明． 13. 【感知】如图①，点是正方形的边上一点，点是延长线上一点，且，易证，进而证得（不要求证明） 【应用】如图②，在正方形中，点、分别在边、上，且．求证：． 【拓展】如图③，在四边形中，，，，点、分别在边、上，且，若，，则四边形的周长为　 　． 14. 问题背景：“半角问题” （1）如图：在四边形中，，，．，分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系． 小明同学探究此“半角问题”的方法是：延长到点．使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 　 　；（直接写结论，不需证明） 探索延伸：当聪明的你遇到下面的问题该如何解决呢？ （2）若将（1）中“，”换为．其它条件不变．如图1，试问线段、、具有怎样的数量关系，并证明． （3）如图2，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，请直接写出线段、、它们之间的数量关系．（不需要证明） （4）如图3，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且，试问线段、、具有怎样的数量关系，并证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 全等三角形模型——手拉手模型与半角模型 手拉手模型 特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点，如图所示 结论：（1）△ABD≌△AEC （2）∠+∠BOC=180° （3）OA平分∠BOC 变形： 1. 如图，以的边，为边，向外作等边和等边，连接，相交于点． （1）求证：． （2）求的度数． （3）求证：平分． （4）求证：． 【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质得出即可； （2）根据全等三角形的性质和角的关系得出即可； （3）过点作于，于，根据三角形面积公式和角平分线的性质解答即可； （4）在上截取，连接，根据全等三角形的