专题 全等三角形模型——截长补短与倍长中线-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年七年级数学下册同步精讲精练(北师大版)

令学利科购 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 全等三角形模型一一 截长补短与倍长中线 截长补短 截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段 截长补短法是几何证明题中十分重要的 方法，通常来证明几条线段的数量关系， 常见做辅助线方法有： 截长法： ()过某一点作长边的垂线： 在线段AB上截取AD=AC (2)在长边上截取一条与某一短边相同的 线段，再证剩下的线段与另一短边相等。 补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等 补短法： (1)延长短边。 (2)通过旋转等方式使两短边拼合到一 起，证与长边相等。 延长AC,使得AD=AB 1.△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且AB=AC+CD.若∠BCA=60°，则∠ABC的大小为() A.30 B.60° C.80 D.100 【分析】可在AB上取AC'=AC,则由题中条件可得BC'=C'D,即LC=∠ACD=2LB,再由三角形的外 角性质即可求得∠B的大小 【解答】解：如图，在AB上取AC'=AC, :AD是角平分线， :ZDAC=ZDAC'. △ACD=△ACD(SAS), :CD C'D 又：AB=AC+CD,AB=AC+CB, :BC'=C'D, 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 令学利网 学科网原到，让李司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 .∠C=∠AC'D=2∠B=60°， ∠B=30°. 故选：A Q B 2.阅读：探究线段的和.差.倍.分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法， 具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等， 再利用三角形全等的有关性质加以说明。 (1)请完成下题的证明过程：如图1，在△ABC中，LB=2LC,AD平分∠BAC.求证：AB+BD=AC.证 明：在AC上截取AE=AB,连接DE (2)如图2，ADI1BC,EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA,CD过点E,求证：AB=AD+BC· 图1 图2 【分析】(1)在AC上截取AE=AB,连接DE,证明△ABD兰△AED,得到∠B=∠AED,再证明 ED=EC即可： (2)由等腰三角形的性质知AE=FE,再证明△ADE三△FCE即可解决本题. 【解答】证明：在AC上截取AE=AB,连接DE,如图1： 图1 :AD平分LBAC, 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 令学利网 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 ∠BAD=∠DAC, 在△ABD和△AED中， AE=AB ∠BAD=∠DAC, AD=AD ∴.△ABD=△MED(SAS), ∠B=∠AED,BD=DE,又LB=2LC, LAED=2∠C, 而∠AED=∠C+∠EDC=2∠C, :ZC ZEDC. :DE CE. :AB+BD =AE CE AC (2)延长AE、BC交于F, :AB=BF,BE平分∠ABF, :AE EF, 在△ADE和△FCE中， ∠DAE=∠F AE=EF I∠AED=∠CEF ∴.△ADE兰△FCE(ASA), :AD CF. AB=BF BC C F B C AD. 3.如图，在AABC中，AD平分LBAC交BC于D,在AB上截取AE=AC· (1)求证：△ADE△ADC: (2)若AB=6,BC=5,AC=4,求△BDE的周长. 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 令学利科购 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 【分析】(1)根据SAS证明△ADE:△ADC即可： (2)根据全等三角形的性质和线段之间的关系进行解答即可. 【解答】证明：(1)AD平分∠BAC, ∠EAD=∠CDA, 在△ADE与△ADC中， AE=AC ∠EAD=∠CDA, AD=AD △ADE=△ADC(SAS), (2):△ADE=△ADC, :ED DC. △BDE的周长 =BE+BD+DE=AB-AE+BC-DC+DC=AB-AC+8C-DC+DC=AB-AC+BC=6-4+5=7 4(2020秋·武昌区期中)如图，△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB,AD、 CE相交于点P (1)求∠CPD的度数： (2)若AE=3,CD=7,求线段AC的长. B D 【分析】(1)利用LABC=60°，AD、CE分别平分LBAC,LACB,即可得出答案： (2)由题中条件可得△APE三△APF,进而得出∠APE=∠APF,通过角之间的转化可得出△CPF≡△CPD, 进而可得出线段之间的关系，即可得出结论。 【解答】解：(1)：∠ABC=60°，AD、CE分别