第五章有理数 讲义2022-2023学年沪教版六年级第二学期

第五章 有理数 5.1有理数的意义 1、负数的引入 在人们的日常生活当中存在大量相反意义的量，为了解决问题，就必须引入一种新的数—负数，一般情况下，规定收入、增加、上升、零上、高于海平面等为正，另一种相反意义的量支出、减少、下降、零下、低于海平面等规定为负. 2、正数、负数的概念 如6，2.5,，1.2%等数叫做正数。在正数前加上“-”号的数叫做负数。比如-4，-1.2， ，-2%等，有时为了强调符号，在正数前面加上“+”号，+6，+2.5，+等。 零既不是正数，也不是负数. 3、有理数的概念 正整数、零、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数 4、有理数的分类： 【注意】（1）正数和负数不交叉，但任何两个正有理数之间都有无数个正有理数，任何两个负有理数之间都有无数个负有理数，同时一定要注意零的特殊性。 （2）正数和零放在一起称为非负数，负数和零放在一起称为非正数。 （3）把一些共性的数放在一起称为数集，如：所有正数放在一起称为正数集。 5.2数轴 1、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.如图所示： 注：（1）数轴三要素：原点，正方向、单位长度； （2）数轴是一条直线，可以向两端无限延伸； （3）原点位置的选择，单位长度大小的确定都是根据实际而定的，一般取向右的方向为正方向. 数轴的画法：先画一条水平的直线，再在这条直线上画出数轴的三要素即可. 2、数轴的性质： （1）数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. （2）正数都大于零，负数都小于零，正数大于一切负数. （3）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示. 3、相反数的概念 只有符号不同的两个数互为相反数，其中一个数是另一个数的相反数. 正数、负数、零的相反数： 正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；零的相反数是它本身. 注意：相反数第成对的，指的是两个数，单个的或超过两个数都不能称为相反数. 4、相反数的几何意义 在数轴上，表示互为相反数的两个点，它们分别位于原点的两侧，且与原点的距离相等. 如图：-a与a互为相反数，且表示-a与a的两点与原点的距离也相等. 5.3绝对值 1、绝对值的定义（几何意义） 在数轴上，把表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值.记作，读作“a的绝对值”如：在数轴上表示-1的点到原点的距离是1，所以-1的绝对值是1，记作，读作“-1的绝对值等于1”. 2、求一个数的绝对值的法则（绝对值的代数意义） 一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.它既可以说成“本身”，又可以说成“相反数”. 3、有理数大小的比较 （1）利用绝对值比较两个负数大小的法则：两个负数，绝对值大的反而小；绝对值小的，反而大. 注：绝对值大，说明离原点远，而负数在原点左侧，数轴上的点表示的数是“左小又大”，所以绝对值大的反而小. （2）对于任意的有理数的大小比较应采用：正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 4、绝对值非负性的应用 任意数的绝对值都是非负数，即|a|≥0 5.4有理数的加法 1、 有理数的加法法则： （1）同号两数相加,取与加数相同的符号,并把绝对值相加. （2）异号两数相加,绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值. （3）一个数与0相加,仍得这个数. 2、有理数加法运算步骤： （1）先判断类型（同号、异号等） （2）确定和的符号 （3）后进行绝对值的加减法运算 3、有理数加法的运算律： 交换律：a+b=b+a 结合律: (a+b)+c=a+(b+c) 正确熟练地运用交换律和结合律可以简化有理数的加法运算，如果几个有理数相加，我们可以借助于交换律，交换加数的位置，同时运用结合律把所有的正加数结合在一起，所有的负加数结合在一起． 5.5有理数的减法： 1、有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数，即为a-b=a+(-b). 2、有理数加减的混合运算 在小学数学中，加减法混合运算的顺序是从左到右依次计算，数的范围扩充到有理数后，这样的顺序我们照样沿用。 我们还可以归纳为，减法可以转化为加法，加减混合运算可以统一为加法运算，用字母表示即为：a+b-c=a+b+(-c) 再对加号进行适当的省略，比如： +（+3）= +3 +（-3）= -3 学会灵活使用交换律和结合律，进行简便运算。 5.6有理数的乘法： 1、两有理数相乘与它们的积之间的规律： 负数乘正数得负，绝对值相乘；负数乘 0 得 0 ；负数乘负数得正，绝对值相乘； 即有两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘,都得0。