8.6.2直线与平面垂直（2）课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

盛 琪 第八章 立体几何初步 2023/2/15 8.6.2 直线与平面垂直（2） 1 引 入 1. 直线与平面垂直的定义：“任意” 2. 点到平面的距离 定义的运用： 关键：在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直 ③ 线面垂直 线线垂直 定义 3. 直线和平面垂直的判定定理 证明线线垂直方法 垂线段的长度 线线垂直线面垂直 证明线面垂直的方法 ① 线面垂直的定义． ② 线面垂直的判定定理． ④ 串串 LOGO 2 例题讲解 证明：(1) LOGO 3 例题讲解 证明：(2) LOGO 4 课堂练习 证明： B D C S A LOGO 5 课堂练习 3.已知ABCD是矩形，PA ⊥平面AC，连接PB,PC,PD，图中直角三角形的个数有 ( )个 4 4.如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC，求证VB⊥AC. V A C B P LOGO 6 探究新知 如图,若一条直线PA和一个平面α相交,但不垂直，那么这条直线就叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足. P A （1）平面的斜线 问题1 我们知道，当直线和平面垂直时,该直线叫做平面的垂线。如果直线和平面不垂直,如何给它命名？此时又该如何刻画直线和平面的这种关系呢? 斜线 斜足 4. 直线与平面所成角 LOGO 7 探究新知 4. 直线与平面所成角 如图，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影. 一条直线垂直于平面,我们说它所成的角是直角； 规定: 问题2 直线与平面所成的角θ的取值范围是什么? 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角，如图中∠PAO. 斜线 垂线 垂足 斜足 射影 直线与平面所成的角是直线与平面内任意一条直线所成角的最小角. 一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它所成的角是0°的角. （2）斜线的射影 （3）直线与平面所成的角 LOGO 8 例题讲解 例1 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成角. 解：连接BC1交B1C于点O，连接A1O. 设正方体的棱长为a. 正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BCC1B1， B D C A1 B1 C1 D1 A O ∴A1B1⊥BC1，又B1C⊥BC1， ∴BC1⊥平面A1DCB1. ∴A1O是A1B在平面A1DCB1内的射影. ∴∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角. ∴ A1B和平面A1DCB1所成的角为30°. ∴BO= A1B，∠BA1O=30°. 在Rt△A1BO中， A1B= a，BO= a. 1.构造（作） 2.证明（证） 3.计算（求） 4.结论 LOGO 9 探究新知 求斜线和平面所成的角的一般步骤： 1．作：在斜线上选择恰当的一个点，作平面的垂线，确定垂足，连接斜足 和垂足，得到斜线在平面内的射影，斜线和其射影所成的角，即为 斜线和平面所成的角； 2．证：证明(1)中所作出的角就是所求直线与平面所成的角； （注：关键证明线面垂直，即证得斜线在面内的射影） 3．求：通过解三角形（通常是直角三角形），求出(1)中所作的角的大小． 4．结论：将求出的角转化为线面角 LOGO 10 例题讲解 LOGO 11 例题讲解 C A M B 求线面角的要点: (1) 找斜线在平面上的射影, 确定线面角. (2) 构造含线面角的三角形, 通常构造直角三角形. (3) 在三角形中求角的大小. LOGO 12 探究新知 问题3 已知直线 l1、l2 和平面 a 所成的角相等, 能否判断 l1∥l2? 反之, 如果 l1∥l2, l1, l2 与平面a 所成的角是否相等? 如图, a A B C D O AB⊥a, CD⊥a, ∠AOB =∠COD. 而 AO 与 CO 不平行. a A B C D O1 O2 如图, AB∥CD, AO1⊥a, CO2⊥a, 则 AO1∥CO2, 于是得∠BAO1=∠DCO2, 则在直角三角形中得∠ABO1=∠CDO2. 结论: 和同一平面所成的角相等的两条斜线不一定平行. 两条平行线和同一个平面所成的角 一定相等. LOGO 13 课堂练习 解：连接AC, BD, 当AC⊥BD时, A′C⊥B′D′. 理由如下： 3. 如图，在直四棱柱A′B′C′D′-ABCD中，当底面四边形ABCD满足什么条件时， A′C⊥B′D′？ ∵在直四棱柱A′B′C′D′-ABCD中， AA′⊥底面ABCD. BD ⊂底面ABCD， ∴AA′⊥BD. 若AC⊥BD，而