8.6.2直线与平面垂直（1）课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

盛 琪 第八章 立体几何初步 2023/2/15 8.6.2 直线与平面垂直（1） 1 引 入 线 面 位置关系 垂直 斜交 a b 直线在平面内 直线与平面平行 问题1 空间中直线与平面有几种位置关系？ 直线在平面外 a∥α 直线与平面相交 a⊂α a∩α=A a a α α α LOGO 2 引 入 LOGO 3 引 入 观察1 在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识. 比如，旗杆与底面的位置关系，教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系，都给我们直观的认识到直线与平面垂直. LOGO 4 引 入 观察2 如图示，在阳光下观察直立于底面的旗杆AB及它在地面的影子BC. 随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化. 问题2 旗杆所在的直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直? 旗杆AB所在直线于地面上任意一条过点B的直线垂直. LOGO 5 追问：地面上不过点B的任意直线B′C′，AB与B′C′垂直吗？ 引 入 垂直 问题2 旗杆所在的直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直? 　　 对于地面上不过点B的任意一条直线B′C'，总能在地面上找到过点B的一条直线与之平行，根据异面直线垂直的定义，可知旗杆AB所在直线与直线B′C'也垂直．因此，旗杆AB所在直线与地面上任意一条直线都垂直． 追问：怎么理解“任意”?可以用“无数”代替“任意”吗? 结论：直线AB垂直于平面内的任意一条直线,那么它就垂直于这个平面． 可以 LOGO 6 探究新知 观察3 如图示，将一本书打开直立在桌面上，观察书脊AB与桌面的位置关系，以及书脊与每页书和桌面的交线的位置关系，你能发现什么？ 通过对以上现象的观察与分析，可得直线与平面垂直的定义和性质. 书脊AB与桌面垂直， 书脊AB与每页书和桌面的交线垂直. LOGO 7 探究新知 1. 直线与平面垂直的定义 记作l⊥α. 如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则称直线 l 和平面α互相垂直. α P l 画法：画图时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直. 平面α的垂线 垂足 直线l的垂面 1.若直线 l 与平面α内任意一条直线都垂直，则l⊥α. 2.若 l⊥α，则直线 l 与平面α内任意一条直线都垂直. 判断正误： 它们唯一的公共点P叫做垂足. 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面. 直线与平面垂直时， LOGO 8 探究新知 结论：若 l⊥α，则直线 l 与平面α内任意一条直线都垂直. 线面垂直 线线垂直 定义 证明线线垂直的方法： ① 线线垂直的定义：所成的角是直角． ② 如果一条直线垂直于两条平行直线中的一条，那么这条直线也垂直于另一条直线. ③直线与平面垂直的定义：只要证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面． LOGO 9 探究新知 问题3 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？ 一条 P l α 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条 O 证明： P LOGO 10 探究新知 过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫做这个点到该平面的垂线段, 垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. 2. 点到平面的距离 P l α O 在锥体的体积公式中，锥体的高度就是锥体的顶点到底面的距离. (2)线与面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离． (3)面与面的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离． 空间距离 (1)点与面的距离 LOGO 11 探究新知 l 能否利用在平面内找有限条直线与已知直线垂直，从而判定直线与平面垂直？ 一条？ 由定义判定直线与平面垂直，简便吗？ 问题5 怎么来判定直线与平面垂直？ l l 两条？ 下面我们研究直线与平面垂直的判定，就是直线与平面垂直的充分条件. LOGO 12 探究新知 探究：准备一块三角形纸片，设纸片的三个顶角分别为A,B,C，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上( 使BD、DC与桌面都接触）. 问题6 （1）折痕AD与桌面垂直吗？ （2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直? 当且仅当折痕AD 是BC 边上的高时，AD 所在直线与桌面所在平面α垂直． LOGO 13 探究新知 问题7 为什么一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直时，这条直线就和这个平面垂直？你能从向量的角度解释原因吗？ 由基本事实的推论2可知，两条相交直线可以确定一个平面； 由平面向量基本定理可知，这两条相交直线可