8.6.1直线与直线垂直课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.1 直线与直线垂直 盛 琪 第八章 立体几何初步 2023/2/15 1 引 入 与平行关系类似，垂直也是空间直线、平面之间的一种特殊位置关系，它在研究空间图形问题中具有重要的作用．类比平行关系的研究过程，本节将研究空间直线、平面之间的垂直关系，重点研究这些垂直关系的判定和性质． 在初中我们已经研究了平行直线和相交直线. 本节我们主要研究异面直线，首先研究如何刻画两条异面直线的位置关系. LOGO 2 引 入 问题1 空间两条直线有哪些位置关系？ 共面直线 相交直线： 在同一平面内，有且只有一个公共点； 在同一平面内，没有公共点； ①定义:不同在任何一个平面内的两条直线，没有公共点. 平行直线： 异面直线： a b O a b α β a b ②画法: ③判别: Ⅰ. （反证法）两条直线既不相交、又不平行. Ⅱ.（定义法）两条直线不同在任何一个平面内. Ⅲ.判定定理：经过平面外一点和平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线. LOGO 3 探究新知 问题2 如图, 在正方体ABCD-A'B'C'D'中，直线A'C'与直线AB，直线A'D'与直线AB都是异面直线，直线A'C'与A'D'相对于直线AB的位置相同吗? 如果不同，如何表示这种差异呢? 不同. 类似地，可以用“异面直线所成角”来刻画两条异面直线的位置关系. 我们知道，平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角（或夹角），它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度． 图中的角θ即为直线a与直线b的夹角． LOGO 4 a b 探究新知 1. 异面直线所成角 定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). b′ a′ 空间直线所成角→平面直线所成角 （空间问题→平面问题） O 问题3 O点选取的位置会影响直线a与b所成的角吗？ 不会，等角定理 注①异面直线a,b所成角，只与a,b的相互位置有关，而与点O位置无关. O ②一般常把点O取在两异面直线中的a或b上. ③异面直线所成角的取值范围：0°<θ≤90° 问题4 异面直线所成角θ的取值范围是什么？ LOGO 5 探究新知 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直. 直线a与直线b垂直，记作a⊥b. 当两条直线a, b相互平行时，我们规定它们所成的角为0°. 所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤θ≤90°. O • α b a a′ 区别：异面直线所成角的取值范围是____________. (0°, 90°] 2. 异面直线垂直 问题5 空间两条直线垂直，它们一定相交吗？ 相交垂直 异面垂直 LOGO 6 探究新知 1.如果一条直线垂直于两条平行直线中的一条，那么这条直线也垂直于另一条直线.（ ） √ 3.垂直于同一条直线的两条直线平行.（ ） 不一定 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”. × √ 2.如果两条平行直线中的一条与已知直线垂直，那么另一条也与已知直线垂直. ( ) LOGO 7 课堂练习 练习：下列说法正确的有（ ） A．异面直线a与b所成角可以是0°. B．若a⊥c，b⊥c，则a ∥b. C．若a ∥b，则a，b与c所成的角相等. D．若a，b与c所成的角相等，则a ∥b. E．若a ∥b，a⊥c，则b⊥c. CE LOGO 8 例题讲解 例1 如右图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′. (1)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？ (2)求直线BA′与CC′所成角的大小. (3)求直线BA′与AC所成角的大小. (4)若M为A′C′中点，N为B′C′中点，求异面直线AM与CN所成角的余弦值. 解：(1)与直线AA1垂直的棱所在直线有AB, BC, CD, DA, A′B′, B′C′, C′D′, D′A′. (2) 在正方体ABCD-A′B′C′D′中, ∵CC′∥BB′, ∴∠A′BB′为直线BA′与CC′所成的角. 而∠A′BB′=45°. ∴直线BA′与CC′所成角的大小为45°. LOGO 9 例题讲解 1.构造 2.证明 3.计算 4.结论 例1 如右图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′. (3)求直线BA′与AC所成角的大小. 连接A′C′, ∵ABCD