6.4.3 余弦定理、正弦定理（2）课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.3 余弦定理、正弦定理 盛 琪 第六章 平面向量及其应用 2023/6/21 2.正弦定理 1 引 入 发射卫星的过程中如何确定卫星的角度与高度等等，所有这些问题，都可以转化为求三角形的边或角的问题，这就需要我们进一步探索三角形中的边角关系!(播放视频) LOGO 2 引 入 1.余弦定理： 2. 余弦定理的推论： LOGO 3 引 入 3. 用余弦定理可以解决三种解三角形的题型： (1) 已知三边解三角形． (2) 已知两边及夹一角,解三角形． (3) 已知两边及一边对角,解三角形． 三角形全等 （SSS） （SAS） 问题1 余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式.如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？ （ASA） （AAS） ？定理 解三角形 （SSA）解不确定 LOGO 4 探究新知 在初中，我们知道三角形中等边对 的结论. 实际上，三角形中还有 的边角关系. 我们能否得到这个边、角关系准确量化的表示呢？ 在∆ABC中, 如何确定A, B, a, b间的定量关系. 为方便，不妨假设∆ABC为直角三角形. 如图示，在Rt△ABC中， 对锐角三角形和钝角三角形，这个关系是否任然成立？ 等角 大边对大角，小边对小角 从而解决：“在△ABC中，已知A, B, a, 求b”的问题. LOGO 5 探究新知 问题2 采用向量何种运算来研究呢？ 追问 向量数量积出现的是角的余弦,而我们需要角的正弦，如何实现转化？ (与长度、角度有关，可用向量的数量积来探究.) LOGO 6 探究新知 1.正弦定理的推导 (1)锐角三角形： 因此 向量法 LOGO 7 探究新知 (2)钝角三角形： 请同学们完成后面证明! LOGO 8 探究新知 2.正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 即 符号语言： 文字语言： 问题3 有没有其他的方法证明正弦定理？ LOGO 9 探究新知 如图，在△ABC中，有 所以 同理可得 ∴在三角形中有 法2：几何法 LOGO 10 探究新知 证明： 作外接圆O, 过B作直径BC′,连AC′, O C′ c b a C B A A′ 法3：外接圆法 LOGO 11 例题讲解 O y 解:如图建立直角坐标系. 过C点作CDAB于D. D 则点C的坐标(bcosA,bsinA) (bcosA,bsinA) 于是△ABC的面积 同理可得 S△= A B C b a c 法4：面积法 x 同除以 ， LOGO 12 探究新知 3.正弦定理的再认识 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 即 符号语言： 文字语言： 问题5 正弦定理有几个等式，每个等式中有几个元素？ 有三个等式，每个等式中有四个元素（两角及其对边）. 问题4 公式的结构特征怎样？ 和谐美，对称美 问题6 利用正弦定理可以解决三角形的哪类问题？ 可以解已知“两角和一边”和“两边和其中一边的对角”的三角形. （方程思想） =2R LOGO 13 探究新知 3.正弦定理的再认识——变形 =2R 其中，R是△ABC的外接圆半径 “边角互化” sinA > sinB > sinC 6. 1. 7. LOGO 14 例题讲解 4.正弦定理的应用 例1 在△ABC中，已知A=15°，B=45°， ，解这个三角形. 由正弦定理，得 解1：由三角形内角和定理，得 C=120°. (ASA, AAS):已知两角和任意一边, 解三角形, 解唯一. LOGO 15 例题讲解 4.正弦定理的应用 例1 在△ABC中，已知A=15°，B=45°， ，解这个三角形. 设△ABC的外接圆半径为R，则有 解2：由三角形内角和定理，得 C=120°. (ASA, AAS):已知两角和任意一边, 解三角形, 解唯一. LOGO 16 例题讲解 例2 在△ABC中，已知 解这个三角形. 4.正弦定理的应用 (SSA):已知两边和其中一边的对角,解三角形 LOGO 17 探究新知 解:∵sin2C－sin2A－sin2B=sinAsinB 例3 △ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2C－sin2A－sin2B= sinAsinB，求C. ∴由正弦定理，得c2－a2－b2=ab ∴由余弦定理，得 ∵C∈（0，π） ∴C= LOGO 18 课堂练习 1.在△ABC中，已知B＝3