6.4.1 平面几何中的向量方法课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

引 入 共线向量定理 平面向量基本定理 ∥ A、P、B三点共线 线性运算 且方向相同 数量积 坐标运算 有了运算，向量的力量无限；没有运算，向量就只是一个路标. LOGO 1 引 入 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题． LOGO 2 6.4.1 平面几何中的向量方法 盛 琪 第六章 平面向量及其应用 2023/2/15 3 引 入 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题． 问题1：你能将以下平面几何元素及其表示转化为向量及其运算吗？ 几何元素及其表示 向量及其运算 点A 线段AB ，AB两点距离 夹角∠AOB LOGO 4 例题讲解 1.平行问题 例1 如图示，DE是∆ABC的中位线，证明： 问题2：回忆初中的证明过程 F 证：延长DE至点F，使DE=EF，连结CF． ∵E为AC中点，∴AE=EC． 又∵DE=EF，∠AED=∠CEF， ∴△AED≌△CEF（SAS）． ∴AD=CF，∠ADE=∠F． ∴AB∥CF，即BD∥CF． 又∵AD=BD，∴BD=CF． ∴四边形DBCF为平行四边形． ∴BC=DF=2DE，且DE∥BC． LOGO 5 例题讲解 1.平行问题 例1 如图示，DE是∆ABC的中位线，用向量方法证明： 追问：如何利用向量推导三角形内线段长度关系？ （1）平面几何中求线段的长度问题就是在向量中 求向量的模的问题 选择基底 （2）解题的关键是　　　　 ． LOGO 6 例题讲解 1.平行问题 例1 如图示，DE是∆ABC的中位线，用向量方法证明： 转化 运算 翻译 三步曲 LOGO 7 探究新知 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”: (1) 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 基底法 坐标法 (2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3) 把运算结果“翻译”成几何关系. 转化 ①选取基底； ②用基底表示相关向量； ③利用向量的线性运算或数量积找相应关系； ④把几何问题向量化． LOGO 8 课堂练习 2.垂直问题 LOGO 9 例题讲解 3.长度问题 第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题: 例2 如图示，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？ 解： 第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系: 第三步，把运算结果“翻译”成几何关系: 平行四边形两对角线长的平方和等于各边长的平方和 LOGO 10 例题讲解 3.长度问题 例2 如图示，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？ 平行四边形两对角线长的平方和等于各边长的平方和 问题3：还可以选择其他基底吗？ 问题3：还可以用什么方法解决以下问题？ 如图，以A为坐标原点， AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． x y LOGO 11 课堂练习 如图所示，已知△ABC 中，AB=AC，求证：∠B=∠C. 2. 证明: 等腰三角形的两个底角相等. 4.角度问题 LOGO 12 课堂练习 2. 如图示，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M，求∠EMF的余弦值. x y LOGO 13 探究新知 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”: (1) 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 基底法 坐标法 (2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3) 把运算结果“翻译”成几何关系. 转化 ①选取基底； ②用基底表示相关向量； ③利用向量的线性运算或数量积找相应关系； ④把几何问题向量化． ①建立适当的平面直角坐标系； ②把相关向量坐标化； ③用向量的坐标运算找相应关系； ④把几何问题向量化． LOGO 14 课堂练习 4. 如图示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N. 设AB=mAM，AC=nAN，求m+n的值. LOGO 15 课堂练习 ∵ ∴ 5.在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D