6.3.1 平面向量基本定理课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.3.1 平面向量基本定理 盛 琪 第六章 平面向量及其应用 2023/2/15 1 引 入 向量的数乘 问题1 已知非零向量a，所有与a共线的b向量，都能用a表示吗？如何表示？ 能，b=λa，λ∈R 几何意义：把非零向量a同向或反向放缩. LOGO 2 引 入 问题2 可以只用这个非零向量a来表示这一平面上的任意一个向量吗？ 不能，只能表示与a共线的向量 问题3 要表示平面上的任意一个向量，至少需要几个向量？ 两个 l a+λ2b a b λ1a+λ2b λ1a+b a+λ2b LOGO 3 引 入 我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力。 启发：可以逆用平行四边形法则，尝试将一个向量分解成两个向量的和的形式. 力的分解是向量分解的物理模型，分解过程运用了平行四边形法则. LOGO 4 探究新知 探究1 如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量. 将a按e1，e2的方向分解，你有什么发现？ O M N 思考1 再给出另一个向量a，还能这样表示吗？ 思考2 与e1或e2共线的向量，能这样表示吗？ 思考3 零向量，也能这样表示吗？ 结论1：平面上任意一个向量a都可以表示为： a=λ1e1+λ2e2 能，取λ1=λ2=0. 即0=0e1+0e2 LOGO 5 探究新知 探究2 如果给定的两向量e1，e2共线，还能用来表示这一平面内的任何一个向量吗？ 不能，此时λ1e1+λ2e2与e1，e2共线，当向量a与它们不共线时，则无法表示. 结论2：只有e1，e2不共线，才可以用来表示平面内的任意向量. LOGO 6 探究新知 探究3 现在我们知道，平面内任何一个向量a，都可以用两个不共线的向量e1，e2表示为a=λ1e1+λ2e2.在这种表示方法中，这样的实数λ1，λ2是唯一的吗？如何证明？ 结论3：有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2成立. LOGO 7 探究新知 如果e1，e2是同一平面内的两个_________向量，那么对于这一平面内的_______向量a，_______________实数λ1，λ2，使a＝_____________. 不共线　 任一　 有且只有一对　 λ1e1＋λ2e2　 问题4 想一想，你能把上述探究发现的结果，用数学语言描述出来吗？ 结论1：平面上任意一个向量a都可以表示为：a=λ1e1+λ2e2 结论2：只有e1，e2不共线，才可以用来表示平面内的任意向量. 结论3：有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2成立. 1.平面向量基本定理 LOGO 8 例题讲解 例1如图所示，e1，e2是两个不共线的向量，试用e1，e2表示向量 LOGO 9 探究新知 若e1，e2______，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内_____向量的一个基底. 不共线　 所有　 如果e1，e2是同一平面内的两个_________向量，那么对于这一平面内的_______向量a，_______________实数λ1，λ2，使a＝_____________. 不共线　 任一　 有且只有一对　 λ1e1＋λ2e2　 1.平面向量基本定理 2.基底 LOGO 10 探究新知 思考1 作为一组基底的条件是什么？零向量可以作为基底吗？ 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 一组不共线的向量可以作为基底. 零向量与任意向量共线，因此零向量不能作为基底. 思考2 一组平面向量的基底有多少对？ 无数多对，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底. 思考3 若e1，e2能作为基底，那么e1，3e2能作为基底吗？ e1+3e2，e1-2e2能作为基底吗？ 2.基底 LOGO 11 探究新知 思考4 若基底选取不同，则表示同一向量的实数λ1，λ2是否相同？ 可以不同，也可以相同 O C F M N E 以 为基底 以 为基底 LOGO 12 探究新知 3.平面向量相等的充要条件 如果e1，e2不共线，且a=λ1e1+λ2e2，b=μ1e1+μ2e2，那么 【练习】已知e1，e2不共线，且a= e1+ 2e2，b=ke1-e2，若a//b ,则实数k的值 为： . LOGO 13 例题讲解 已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y等于_