6.2.4 平面向量的数量积（1）课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2.4 平面向量的数量积（1） 盛 琪 第六章 平面向量及其应用 2023/2/15 1 引 入 实数 加法 减法 向量 加法 减法 数乘 向量＋向量=向量 向量－向量=向量 实数×向量=向量 向量与向量能否相乘？ 乘法 线性运算 类比 类比 类比 类比 问题1 前面我们学习了向量的加法、减法运算. 类比数的运算，向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？ LOGO 2 引 入 问题2 回顾之前学习向量线性运算的过程，我们都是按照怎样的路径学习的？ 物理模型 性质 运算律 应用 路径： 概念 向量的加法 位移合成 力的合成 向量的数量积 ? LOGO 3 引 入 问题3 ①在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功 ，其中θ是F与s的夹角． 功是一个_____，它由力和位移两个向量来确定. 问题3 ②功是一个矢量还是标量？它的大小由哪些量确定？ 这给我们一种启示，能否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果呢？受此启发，我们引入向量“数量积”的概念. 标量 LOGO 4 探究新知 问题4 如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？ 两个向量的大小及其夹角余弦的乘积 功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积 因为力做功的计算公式中涉及力与位移的夹角，所以我们先要定义向量的夹角概念. LOGO 5 探究新知 1.向量的夹角 已知两个非零向量 ，O是平面上的任意一点，作 则∠AOB＝θ ( ) 叫做向量 的夹角． O A B θ 显然，当θ=0时， 同向. 当 时， 垂直，记作 . 当θ=π时， 反向. 记作: < > θ∈[0，π] 范围： 0≤θ≤π LOGO 6 课堂练习 50° A B C 45° 85° 1.在△ABC中，已知A=45°，B=50°，C=85°，求下列向量的夹角： (1) 45° 130° 85° 45° 130° 85° (2) (3) 问题5 两个向量的夹角与两条直线的夹角有何区别？ 向量 与 之间的夹角θ的取值范围是[0, π], 注意: 必须共起点. 两直线夹角的范围 是不一样的(向量有方向). 可以平移实现. LOGO 7 探究新知 2.平面向量数量积的定义 已知非零向量 与 ，它们的夹角为θ，我们把数量 叫作 与 的数量积（或内积），记作 ，即规定 规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 向量的数量积是一个数量 ②一种新的运算. ①“·”不能省略不写，也不能写成“×”. ③数量积a·b的结果为实数，不是向量.（数量积运算是非线性运算） 注意: LOGO 8 例题讲解 例1 已知 解： 例2 解： 由 ，得 ∵ ∴ . 知三求一 LOGO 9 课堂练习 B C C > 4.已知|a|=6，|b|=8,a与b平行，求a•b . LOGO 10 探究新知 问题6 向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？ 0°≤θ＜90° =90° ④两个非零向量的数量积，符号由夹角θ决定： 注意: 当 a·b=0时，夹角θ_______. 当 a·b>0时，夹角θ范围是_______________； 当 a·b<0时，夹角θ范围是_______________; 90°＜θ ≤180° ? 是非零向量 ⑤ LOGO 11 探究新知 3.投影向量 设 是两个非零向量， ，过 的起点A和终点B，分别作 所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到 ，我们称这种变换为向量 向向量 投影， 叫做向量 在向量 上的投影向量． 我们可以在平面内任取一点O，作 .过点M作直线ON 的垂线，垂足为 ，则 就是向量 在向量 上的投影向量 LOGO 12 探究新知