备战2023年中考--三角形中平分倍角模型

三角形中平分倍角模型 东方岳（2023.02.14） 【原题】如图，△ABC中，BD平分∠ABC，∠A=3∠C，AB=6，BC=10，则AD=______. 【分析】本题条件出现平分和3倍角，一般通过“翻折”、“平分”转化为等角，利用勾股定理或相似解形.以下提供几种方法，仅供参考. 【解法】 简解1：角平分线定理 如图，在BC上取一E，使BE=AB=6 ∵BD平分∠ABC ∴∠ABD=∠EBD，又，BD=BD ∴△ABD≌△EBD（SAS） ∴∠BED=∠A=3∠C=3α，AD=DE 又，∠EDC=∠BED-∠C=2α 作DF平分∠EDC，则∠EDF=∠CDF=∠C=α ∴DF=CF， ∴DF=CF=CE=，EF=CE= 又，△DEF∽△CED ∴AD2=DE2=EF•EC=×4=6 ∴AD= 简解2：角平分线定理 如图，在BC上取一点E，使BE=AB=6，作AF⊥BC于F 则，∠BEA=∠BAE ∴∠EAC=∠AEB-∠C=∠BAE-∠C=∠BAC-∠EAC-∠C 又，∠BAC=3∠C ∴∠EAC=∠C ∴AE=CE=4 可令EF=x，则BF=6-x 由勾股定理得，AB2-BF2=AF2=AE2-EF2 即，36-(6-x)2=16-x2 解得，x=，则CF= 解△AEF得，AF= 解△ACF得，AC= 又， ∴AD=AC= 简解3：角平分线定理 如图，延长BA至E，使BE=BC=10 则，△BED≌△BCD（SAS） ∴∠BED=∠BCD=α，DE=DC ∴∠DEC=∠DCE 又，∠BAC=3∠BCD=3α ∴∠AED=∠DEC=∠DCE=α ∴△EAD∽△CAE 又， 可令，AD=3x，则CD=5x ∴AE2=AD•AC=24x2 解得，x= ∴AD=3x= 简解4：角平分线定理 如图，在BC上取一点E，使BE=AB=6，连接AE 则，∠BAE=∠BEA=∠EAC+∠C 又，∠BAD=3∠C=3α ∴∠AED=∠EAD=∠C=α ∴△EAD∽△CAE ∴AE2=AD•AC 又， ∴可令，AD=3x，则CD=5x 即，16=3x×8x 解得，x= ∴AD=3x= 简解5：平行导比例 如图，在BC上取一点E，使BE=AB=6，交BD于H 则，△ABD≌△EBD（SAS） ∴∠BAE=∠BEA=∠EAC+∠C 又，∠BAC=3∠C ∴∠EAC=∠C ∴AE=CE=4，AH=EH=2 可令，DH=x，则EF=2x 又， ∴BH=4x 解△ABH得，4x=，∴x= 解△ADH得，AD= 简解6：角平分线定理 如图，在BC上取一点E，使BE=AB=6，连接AE交BD于F 则，∠BAE=∠BEA=∠EAC+∠C 又，∠BAC=3∠C ∴∠BAE=∠BEA=2α，∠EAC=∠C=α ∴EA=EC=4，AF=EF=2 在BF上取一点G，使GF=DF 则，∠GAF=∠DAF=∠BAG=α ∴ ∴可令，DF=GF=x，则BG=4x=4√(2) ∴x= 解△ADF得，AD= 简解7：角平分线定理 如图，延长CA至E，使BE=BC=10 则，∠E=∠C=α 在AE上取一点F，使BF=EF 则，∠FBE=∠E=∠C=α ∴∠BFA=∠E+∠FBE=2α 又，∠BAC=3∠C=3α ∴∠EBF=∠ABF=α ∴ ∴可令，AF=3x，则EF=BF=5x 又，∠FAD=α+∠ABD=α+∠DBC=∠FDB ∴BF=DF=5x，则AD=2x 又，△BAF∽△EAB ∴AB2=AF•AE，即，36=24x2 解得，x=，∴AD=2x= 简解8：避开角平分线定理 如图，在BC上取一点E，使BE=AB=6 则，△ABD≌△EBD（SAS） ∴∠BED=∠A=∠EDC+∠C 又，∠A=3∠C=3α ∴∠EDC=2α 作DF//AB交BC于F 则，∠FDC=∠A=3α，BF=DF=x ∴∠EDF=∠C=α，FE=6-x，FC=10-x ∴△DFE∽△CFD ∴DF2=FE•FC 即，(x^2)=(6-x)(10-x) 解得，x= 作DG平分∠EDC交BC于G 则，∠BDG=90°，∠EDG=∠C=α ∴FG=BF=，EG=2x-6= 又，AD2=DE2=EG•EC=×4=6 ∴AD= 简解9： 如图，在BE上取一点E，使BE=AB=6 则，∠C+∠EAC=∠BEA=∠BAE=∠BAC-∠EAC 又，∠BAC=3∠C=3α ∴∠EAC=∠C=α，∠BAE=∠BEA=2α ∴CE=AE=BC-BE=4 作AF平分∠BAE 则，∠BAF=∠FAE=∠EAC=α 又， ∴FE=BE=，FC=EF+CE= 又，△AFE∽△CFA ∴AF2=FE•FC=，∴AF= 又，，∴AC= 又，，∴AD=AC= 简解10：平分相似 如图，作CE⊥BD于E，延长BE至F，使EF=ED