精品解析：上海市七宝中学2021-2022学年高三下学期开学考试数学试卷

上海市七宝中学2021-2022学年高三下开学考 数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 若复数 z 满足z (1+i) =1-i(是虚数单位)，则其共轭复数=____________ 2. 已知集合，，且，则实数a的取值范围是______________________ . 3. 某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为_______． 4. 已知直线的参数方程为，请写出的一个方向向量______. 5. 若变量x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________． 6. 一个立方体内接于一个球，则该立方体与该球体表面积的比值为______. 7. 已知行列式（，，），则“存在，”是“”的______条件（用“充分非必要”“必要非充分”“充要”或“既非充分也非必要”填空）. 8. 如图，2根绳子上共挂有7只气球，绳子上的气球数依次为3，4.每枪恰打破一只气球，而且同一条绳上，只有打破下面的气球才能打上面的气球，将这些气球都打破的不同打法有______种（请用数字作答）. 9. 已知平面向量、满足，则的取值范围是______ 10. 关于的方程恰有3个实数根，，，则__________． 11. 已知，且，则______． 12. 所有正整数平方的倒数和问题称为Basel问题，下面是著名的瑞士数学家Euler的一种推导方法：已知，由方程有无穷多个根，可得，将该式最右边展开并比对系数，可得，即 类比上述思路与方法，由出发，写出一个类似的结论______. 二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分） 13. 若事件与相互独立，且，则的值等于（ ） A. 0 B. C. D. 14 组合数恒等于（ ） A. B. C. D. 15. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 16. 设定义域为的函数存在反函数，现有下述两个相关命题： ①若的图象是连续不断的曲线，且的图象有交点，则图象与直线相交； ②若对任意，，则图象与直线相交. 则对于命题①与命题②的真假性判断，正确的为（ ） A. ①真②真 B. ①真②假 C. ①假②真 D. ①假②假 三、解答题（本大题共5题，满分76分） 17. 如图在三棱锥中，棱两两垂直，，点在上，且. （1）求异面直线和所成的角的大小； （2）求三棱锥的体积. 18 已知函数. （1）若，求的值； （2）若对于恒成立，求实数取值范围. 19. 如图所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的点处，乙船在中间点处，丙船在最后面的点处，且.一架无人机在空中的点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得，.（船只与无人机的大小及其他因素忽略不计） （1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比； （2）若此时甲、乙两船相距100米，求无人机到丙船的距离.（精确到1米） 20. 如图,直线与抛物线相交于不同的两点,且（为正常数）,线段中点为.设是与直线平行且与抛物线恰有唯一交点的直线,记该交点为. （1）用表示出点的坐标,并证明垂直于轴; （2）求面积（只与有关,与无关）; （3）张三同学在完成上述两小题后,分别连接,再作与分别平行且与抛物线交点唯一直线,交点分别为,他立即写出了的面积,由此求出了直线与抛物线所围成图形的面积,你认为张三能做到吗？若能,请你也求出该图形的面积;若不能,请说明理由. 21. 给定一个n项的实数数列，任意选取一个实数c，变换将数列变换为数列，再将得到的数列继续施行这样的变换，这样的变换可以连续施行多次，并且每次所选择的实数c可以不相同，将第次变换记为，其中为第次变换时选择的实数.如果通过k次变换后，数列中的各项均为0，则称为“次归零变换”，如项数列有“次归零变换”. （1）对数列，请给出其一个“次归零变换”，其中； （2）求证：对任意项数列，都存在“次归零变换”； （3）分别判断两个数列与是否存在“次归零变换”，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海市七宝中学2021-2022学年高三下开学考 数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 若复数 z 满足z (1+i) =1-i(是虚数单位)，则其共轭复数=____________ 【答案】 【解析】 【详解】，则. 2. 已知集合，，且，则实数a取值范围是______________________ . 【答案】 【解析】 【分析】由并集的定义及数轴表示可得解.