6.2.3向量的数乘课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2.3向量的数乘运算 学习目标 核心素养 1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义． 直观想象 2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算． 数学运算 3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题． 逻辑推理 探究：已知非零向量作出和.它们的长度和方向分别是怎样的？ 如图，.类比数的乘法，我们把记作，即.显然的方向与的方向相同，的长度是的长度的3倍，即. 类似地，由图可知，.我们把记作，即.显然的方向与的方向相反，的长度是的长度的3倍，即. 知识点1 向量的数乘 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下： (1) (2)当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反. 由(1)可知，当时，. 由(1)(2)可知，. 探究：如果把非零向量的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变得到向量，向量该如何表示？向量，之间的关系怎样？ 你对零向量、相反向量有什么新的认识？ 知识点2 向量的数乘运算的运算律 你能证明这些运算律吗？ 根据实数与向量的积的定义，可以验证下面的运算律是成立的. 设为实数，那么 (1) (2) (3) 6 特别地，我们有： 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量. 对于任意向量，，以及任意实数，，，恒有 . 7 例5.计算： (1)；(2)(3) 解：(1)原式 (2)原式 (3)原式 8 例6.如图，□的两条对角线相交于点，且，，用表示，，和. 解：在□中， 由平行四边形的两条对角线互相平分，得： 9 知识点3共线向量定理 探究：引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？ 10 综上，我们有如下定理：(共线向量定理) 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使. 根据这一定理，设非零向量位于直线上，那么对于直线上的任意一个向量，都存在唯一的一个实数，使.也就是说，位于同一条直线上的向量可以由这条直线上的一个非零向量表示. 11 例7.如图，已知任意两个非零向量，试作，，猜想三点之间的位置关系，并证明你的猜想. 解：分别作向量，，，过点，作直线(如图).观察发现，不论向量怎样变化，点始终在直线上，猜想三点共线. 事实上，因为， ， 所以. 因此，，三点共线. 12 例8.已知是两个不共线的向量，向量，共线，求实数的值. 解：由于不共线，易知向量为非零向量.由向量，共线，可知存在实数，使得，即. 由不共线，必有.否则，不妨设，则. 由两个向量共线的充要条件知，共线，与已知矛盾. 由解得 因此，当向量，共线时，. 13 题型一：向量的线性运算 14 15 题型二 用已知向量表示未知向量 16 17 题型三 向量共线问题 18 19 20 作业： 完成课时练+预习案 1.向量数乘的定义中要注意的问题 (1) 向量数乘仍是一个向量. EMBED Equation.DSMT4 中的实数 叫做向量 的系数； (2)不要忽略特殊情况：当 ＝0时， EMBED Equation.DSMT4 ＝ .当 ≠0时，若 ＝ ，也有 EMBED Equation.DSMT4 ＝ ； (3) 实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算. 2.数乘的几何意义 向量的数乘的几何意义就是把向量 沿着 的方向或 的反方向扩大或缩小.当 ＞0时，沿着 的方向扩大（ ＞1）或缩小 倍；当 ＜0时，沿着 的反方向扩大（｜ ｜＞1）或缩小 ｜ ｜倍. 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 【例1】化简下列各式： ①3(6a+b)-9(a+ b)； ② [(3a+2b)-(a+ b)]-2( a+ b); ③2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a. 【解析】①原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a. ②原式＝ (2a+ b)-a- b=a+ b-a- b=0. ③原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c. 【解析】3x－2y＝a, ① －4x＋3y＝b, ② 由①×3＋②×2得，x＝3a＋2b， 代入①得3×(3a＋2b)－2y＝a， 所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b. 【变式训练1】已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y. 【例2】(1)如图所示，▱ABCD中，E是BC的中点，若 ＝a， ＝b，则 ＝(　　) A． a－b　　　　　 B． a＋b C．a＋ b D．a－ b (2)如图所示，D，E分别是△AB