6.2.4向量的数量积课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2.4向量的数量积 学习目标 核心素养 1.理解平面向量的数量积的定义． 数学抽象 2.了解投影向量的概念． 直观想象 3.掌握向量数量积的性质及其运算律，并会应用. 逻辑推理 引入： 情境1：在物理课中我们学过功的概念，那么右图中力对小车所做的功是？ 前面我们学习了向量的加、减运算.类比数的运算，出现了一个自然的问题：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？ 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功，其中是与的夹角. 功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定.这给我们一种启示，能否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果呢？受此启发，我们引入向量“数量积”的概念. 因为力做功的计算公式中涉及力与位移的夹角，所以我们先要定义向量的夹角概念. 已知两个非零向量(如图)，是平面上的任意一点，作，，则叫做向量与的夹角. 显然，当时，与同向； 当时，与反向. 如果与的夹角是，我们说与垂直，记作. 的夹角记作<，>. 4 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 对比向量的线性运算，我们发现，向量线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关. 注：(1)是两个向量的数量积，书写时要严格区分.符号“”是一种运算符号，既不能省略，也不能用“×”代替. (2)是一个实数，而不是向量. 5 例9.已知，，与的夹角，求. 解： 6 例10.设，，求与的夹角. 解：由，得 因为，所以 7 如图1，设，是两个非零向量，，，我们考虑如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.(与平行的向量) 图1 图2 如图2，我们可以在平面内任取一点，作，.过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量. 8 探究1：如图，设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，那么与，，之间有怎样的关系？ 图1 显然，与共线，于是. 下面我们探究与，的关系，进而给出的明确表达式.我们分为锐角、直角、钝角以及，等情况进行讨论. 当为锐角(如图1)时，与方向相同，， 所以 9 当为直角(如图2)时，，所以 当为钝角(如图3)时，与方向相反， 所以， 即 图2 图3 10 当时，所以 当时，所以 从上面的讨论可知，对于任意的，都有. 探究2：从上面的探究我们看到，两个非零向量与相互平行或垂直时，向量在向量上的投影向量具有特殊性.这时，它们的数量积又有怎样的特殊性？ 11 由向量数量积的定义，可以得到向量数量积的如下重要性质. 设是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 (1). (2) (3)当与同向时，；当与反向时，. 特别地，或. 此外，由还可以得到 (4) 探究3：如果，是否有，或？ 不一定，还有可能 注常常记作 12 练习.已知，，与的夹角为45°，则向量在向量上的投影向量的模为（ ）. A. B.3 C.4 D.5 答案：A. 解：由已知得向量在向量上的投影向量的模为 13 14 15 16 . 17 18 19 【答案】　(1)√　(2)×　(3)× 20 21 22 作业： 完成课时练+预习案 【答案】④ (2)①(a－b)·(a－b) ＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝100－9＝91. ②因为|a|＝10，|b|＝3，且向量a与b的夹角为120°， 所以a·b＝10×3×cos 120°＝－15， 所以(2a＋b)·(a－b)＝2a2－a·b－b2 ＝200＋15－9＝206. 【例1】(1)给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0，其中正确结论的序号是________． (2)已知向量a与b满足|a|＝10，|b|＝3，且向量a与b的夹角为120°.求： ①(a－b)·(a－b)； ②(2a＋b)·(a－b). 【解析】设 ＝a， ＝b，由已知得|a|＝3，|b|＝2，a·b＝|a||b|cos 60°＝3， 因为 ＝2 ，所以 － ＝2( － )， 所以 ＝ ＋ ＝ a＋ b， 所以 · ＝ ( a＋ b)·(λb－a)＝( - )a·b－ a2＋ b2 ＝(λ－2)－ ×9＋ ×4＝－4， 解得λ＝ . 【变式训练1】在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2.若 ＝2 ， ＝λ － (λ∈R)，