6.3.1平面向量基本定理 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.3.1 平面向量基本定理 1 复习导入 上节我们学习了向量的运算，知道位于同一条直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示.类似地，平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示呢？ 我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力也可以分解为两个力。我们可以根据解决问题实际问题的需要，通过作平行四边形，将力F分解为多组大小、方向不同的分力。 2 新知探究 由力的分解得到启发，我们能否通过作平行四边形，将向量分解为两个向量，使向量是这两个向量的和呢？ 3 新知探究 如图，设 是同一平面内两个不共线的向量， 是这一平面内与 都不共线的向量，在平面内任取一点O,作 . 将 按 的方向分解： 思考：分解后得到的向量与 有什么联系？ 4 新知探究 与 共线,即： 与 共线,即： 平面上，任意向量都可以用 进行表示吗？ 探究思考1 5 新知探究 探究活动： 小组从下列两向量中任选其一进行分解，并派出代表展示成果。 与 都不共线的向量 都可以表示成 的形式。 6 新知探究 是与 或 共线的非零向量时 成立吗？ 探究思考2 是与 共线的非零向量时 成立. 是与 共线的非零向量时 成立. 7 新知探究 是零向量时 成立吗？ 探究思考3 是零向量时 成立. 8 新知探究 平面内任何一个向量 都可以表示成 的形式，那么这种表示是唯一的吗？（即 的系数是唯一的吗？） 9 新知探究 假设： ， 即 假设 不全为0，不妨设 则 由此可得 共线，与已知 不共线矛盾 则 全为0，即 所以表示形式是唯一的。 10 新知探究 这告诉我们：平面中任何一个向量，都可以由同一基底唯一表示。 平面向量基本定理 如果 、 是同 一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任何向量 ，有且只有一对实数 ，使 若 不共线，我们把 叫做表示这一平面内 所有向量的一个基底。 11 新知探究 思考1： 构成平面向量的基底有多少对？ 无数对 思考2： 若基底选择不同，则表示同一向量的 实数 能否相同？ 可以相同,也可不同 O F C E A E B N 12 新知巩固 解：因为 ， 你有什么发现？ A，B，P三点共线， 则系数和等于1． 例1　如图， ， 不共线，且 ＝t （t∈R），用 ， 表示 ． 13 新知巩固 例2　如图，CD是△ABC的中线，且CD＝AB，用向量方法证明△ABC是直角三角形． 证明：如图，设 ＝a， ＝b， 则 ＝a＋b， ＝a－b． ． 因为CD＝ AB，所以CD＝DA．因为a2＝CD2，b2＝DA2， 所以 ． 因此CA⊥CB．结论成立． C A D B 14 课堂练习 1．如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线， ＝a， ＝b． 用a，b表示 ， ， ， ． 15 课堂练习 2．如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O， ＝a， ＝b，点E，F分别是OA，OC的中点，G是CD的三等分点 （CG＝ CD）． （1）用a，b表示 ， ， ； （2）能由（1）得出CE，BF的关系吗？ 16 课堂练习 3、如图，在△ABC中，AD＝ AB，点E，F分别是AC，BC的中点．设 ＝a， ＝b． （1）用a，b表示 ， ； （2）如果∠A=60º，AB＝2AC，CD，EF有什么关系？用向量方法证明你的结论． 17 梳理总结 1.平面向量基本定理： 2.用基底表示任意向量的方法： 运用向量的线性运算法则将待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止. 18 再 见 $