10.3 几个三角恒等式-2022-2023学年高一数学新教材同步题型+能力+素养练（苏教版2019必修第二册）

§10.3 几个三角恒等式 一维练基础 题型一：积化和差公式和和差化积公式的应用 1．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用和差化积公式可求解. 【详解】原式. 故选：D 2．（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用积化和差公式即可化简得到答案. 【详解】. 故选：C. 3．已知cos2α－cos2β＝a，那么sin(α＋β)·sin(α－β)等于(　　) A．－ B． C．－a D．a 【答案】C 【详解】法一：sin(α＋β)sin(α－β) ＝(sinαcosβ＋cosαsinβ)(sinαcosβ－cosαsinβ) ＝sin2αcos2β－cos2αsin2β ＝(1－cos2α)cos2β－cos2α(1－cos2β) ＝cos2β－cos2α＝－a，故选C. 法二：原式＝－(cos2α－cos2β)＝－(2cos2α－1－2cos2β＋1)＝cos2β－cos2α＝－a. 4．下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据和差化积公式直接判断即可. 【详解】由和差化积公式可知： ， ，， 因此选项C正确， 故选：C 5．已知是一元二次方程的2个根，求的值. 【答案】 【分析】利用和差化积公式，结合韦达定理直接化简求解. 【详解】因为 是一元二次方程的2个根 所以， ， 故答案为：. 题型二：半角公式及应用 1．设3π<α<4π，cos＝m，那么cos等于（    ） A． B．－ C．－ D． 【答案】B 【分析】先分析的范围，确定象限，利用cos2＝求解即可. 【详解】由于cos＝2cos2－1，可得cos2＝.又3π<α<4π，所以<<π.所以 cos<0.所以cos＝－. 故选：B 2．若cos α＝，α∈(0，π)，则cos的值为（    ） A． B．－ C． D．－ 【答案】C 【分析】先求的范围，确定cos的符号，再求半角公式计算得到答案. 【详解】由题,则，∴， . 故选：C. 3．设是第二象限角，，且，则 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定所在的象限，再根据同角的三角函数关系式，求出，再根据半角公式求出的值. 【详解】因为是第二象限角，且，所以为第三象限角， 所以.因为，所以，所以. 4．已知tan＝，则cosα＝____. 【答案】 【分析】利用求出即可 【详解】由可得 ∴，解得 故答案为： 5．若，那么_____________. 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系求得的值，再利用半角公式求得 的值． 【详解】若， ，，， 那么， 故答案为：． 题型三：辅助角公式及应用 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用辅助角公式计算. 【详解】 ， 所以 ，； 故选：C． 2．设，，，则有（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用辅助角公式和二倍角公式化简a，b，c，再进行比较. 【详解】解：由题意得：， ，， ，， ， 故选：C 3．已知函数，则的（    ） A．最小正周期为，最小值为 B．最小正周期为，最小值为 C．最小正周期为，最小值为 D．最小正周期为，最小值为 【答案】B 【分析】先化简函数，再结合周期公式求解周期，根据解析式求解最值. 【详解】因为， 所以最小正周期为,最小值为. 故选：B. 4．已知，则 等于（　　） A．－ B．± C．－1 D．1 【答案】D 【分析】根据两角差的余弦公式以及辅助角公式即可求解. 【详解】， 故选：D 5．已知函数，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先根据辅助角公式先将函数化简，然后代入求值. 【详解】解：由题意得： 由可得： 故选：B 题型四：三角恒等变换 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用倍角公式，即得. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 2．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式直接计算即可得出结果. 【详解】因为. 故选A. 3．在中，若，则一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】利用三角恒等变换化简即得解. 【详解】因为 ， 所以在中，，即一定是直角三角形． 故选：B 4．已知为锐角，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二倍角正弦公式，结合已知条件得，根据二倍角余弦公式求值. 【详解】由题意知：，由为锐角，即， ∴. 故选：D 5．若则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用三角恒等变换：二倍角正弦公式，及同角正余弦平方关系