专题44 二次函数中的特殊四边形问题-2023年中考数学难点突破与经典模型精讲练（全国通用）

专题44 二次函数中的特殊四边形问题 【题型演练】 一、解答题 1．（2022·海南省直辖县级单位·统考二模）如图，抛物线经过B（3，0）、两点，与x轴的另一个交点为A，顶点为D． (1)求该抛物线的解析式； (2)点E为该抛物线上一动点（与点B、C不重合）， ①当点E在直线BC的下方运动时，求的面积的最大值； ②在①的条件下，点M是抛物线的对称轴上的动点，在该抛物线上是否存在点P，使以C、E、P、M为顶点的四角形为平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①最大值为；②存在，、、 【分析】（1）将B、C两点分别代入解析式求解即可得； （2）①过点E作轴的平行线交于点，将点B、的坐标代入一次函数确定函数解析式，然后设点，则点，得出，结合图象确定面积的函数表达式即可得出结果； ②分三种情况进行讨论分析：a．当四边形CEPM为平行四边形时，则CE∥PM，；b．当四边形CEMP为平行四边形时，则CE∥MP，；c．当四边形CPEM为平行四边形时，则CP∥EM，，利用平行四边形的性质及点坐标之间的性质求解即可． 【详解】（1）将B、C两点分别代入解析式可得：， 解得： ∴函数的表达式为：； （2）①过点E作轴的平行线交于点， 设直线BC的解析式为y=kx+b， 将点B、的坐标代入一次函数表达式得：， 解得：， ∴函数表达式为：， 设点，则点， 则， ∴S△CBE=S△ENC+S△ENB=·NE·3== ∵a=＜0，且0＜x＜3， ∴当x=时，△CBE面积有最大值，最大值为， 此时点E的坐标为（，）． ②如图：C（0，-3）、E（，），设，M（1，m） a．当四边形CEPM为平行四边形时， 则CE∥PM，， ， 即 所以 b．当四边形CEMP为平行四边形时， 则CE∥MP，， ， 即 所以 c．当四边形CPEM为平行四边形时， 则CP∥EM，， ， 即 所以 所以，符合题意的点P有、、． 【点睛】题目主要考查二次函数与四边形、三角形的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，三角形面积问题，平行四边形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题的关键． 2．（2022·陕西西安·校考模拟预测）如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝，其图象与直线y＝x＋2交于C，D两点，其中点C在y轴上，点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P的横坐标为x0，当x0为何值时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由． 【答案】(1) (2)x0＝1或2或 【分析】（1）根据对称轴和C点坐标即可确定抛物线解析式； （2）因为OC和PE都垂直于x轴，所以只要PF＝OC就能确定以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形，求出此时x0的值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝， ∴对称轴x＝＝＝， ∴b＝， 又∵直线y＝x+2与y轴交于C， ∴C（0，2）， ∵C点在抛物线上， ∴c＝2， 即抛物线的解析式为； （2）解：∵点P的横坐标为x0，且在抛物线上， ∴P， ∵F在直线y＝x+2上， ∴F（x0，x0+2）， ∵PF∥CO， ∴当PF＝CO时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形， ①当0＜x0＜3时， PF＝， ∵OC＝2， ∴， 解得x01＝1，x02＝2， 即当x0＝1或2时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形， ②当x0≥3时， PF＝， ∵OC＝2， ∴， 解得x03＝，x04＝（舍去）， 即当x0＝时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形， 综上当x0＝1或2或时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了二次函数、一次函数及平行四边形的性质等知识点，难点在第二小题中要分情况考虑P点在F点上和下两种情况． 3．（2022·广东佛山·西南中学校考三模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线的解析式为． (1)求抛物线的解析式； (2)已知为正数，当时，的最大值和最小值分别为，，且，求的值； (3)点是平面内任意一点，在抛物线对称轴上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或或或 【分析】（1）求出点和点坐标，从点和点坐标将抛物线的解析式设为交点式，将点坐标代入，进一步求得结果； 先根据二次函数的性质求出的值，进而求得的值，进而求得点的值； 只需满足三角形为等腰三角形即可．设点的坐标，进而表示出，及，进而根据，及分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 点， 当时，，， 点， 设， 将点代入得， ， ， ；