第9章 平面向量 章末题型归纳总结-2022-2023学年高一数学新教材同步配套教学讲义（苏教版2019必修第二册）

第9章 平面向量 章末题型归纳总结 章末题型归纳目录 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 经典题型一：向量的线性运算 经典题型二：三点共线定理的应用 经典题型三：向量的数乘运算 经典题型四：向量的数量积运算 经典题型五：向量的模、向量的夹角 经典题型六：向量的投影、投影向量 经典题型七：平面向量的实际应用 经典题型八：平面向量范围与最值问题 模块三：数学思想方法 ①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 经典题型一：向量的线性运算 例1．（2023·高一课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可知，＝﹣ ＝＝ =. 故选：C. 例2．（2023春·广西南宁·高一校考阶段练习）在中，点满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意如下图所示： 根据向量加法法则可知，又，所以 即， 可得. 故选：A 例3．（2023春·广西玉林·高一校考阶段练习）在下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】对于A，，不可以作为基底，A错误； 对于B，与为不共线的非零向量，可以作为一组基底，B正确； 对于C，，共线，不可以作为基底，C错误； 对于D，，共线，不可以作为基底，D错误. 故选：B. 例4．（2023春·广西桂林·高一校考期中）设是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【解析】对于A，因为，所以和共线，则这组向量不能作为平面内的一组基底，故A正确； 对于B，假设和共线，则，故， 所以共线，这与题设矛盾，所以假设不成立， 则和能作为平面内的一组基底，故B错误； 对于C，假设和共线，则，即， 由于与不能同时为，所以共线，这与题设矛盾，所以假设不成立， 则和能作为平面内的一组基底，故C错误； 对于D，假设和共线，则，即， 由于与不能同时为，所以共线，这与题设矛盾，所以假设不成立， 则和能作为平面内的一组基底，故D错误. 故选：A. 例5．（2023春·湖南株洲·高一校联考期中）在平行四边形中，对角线与交于点为中点，与交于点，若 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】平行四边形的对角线与交于点，如图， 则，而点为的中点， 有，由得：， 则有， 所以. 故选：C 例6．（2023秋·北京西城·高一北京八中校考期末）如图，在平行四边形中，设．试用求表示及． 【解析】在平行四边形中,, 所以 进而得 经典题型二：三点共线定理的应用 例7．（2023·辽宁沈阳·高一沈阳铁路实验中学校考期末）已知． (1)当k为何值时，与共线； (2)若且A，B，C三点共线，求m的值． 【解析】（1），， ，， 又与共线， ，即； （2），， 、、三点共线， ，即． 例8．（2023·北京昌平·高一统考期末）如图，在中，.设. (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. 【解析】（1）由题图，， . （2）由， 又，所以，故三点共线. 例9．（2023·北京房山·高一统考期末）已知向量，不共线，且，，． (1)将用，表示； (2)若，求的值； (3)若，求证：A，B，C三点共线． 【解析】（1）因为，， 所以； （2）因为，，， 所以，即，又向量，不共线， 所以，解得， 即的值为； （3）当时， ，，， 所以， 所以，又有公共点， 所以A，B，C三点共线． 例10．（2023·高一课时练习）设两个非零向量与不共线， （1）若，，，求证：A，B，D三点共线； （2）试确定实数k，使和共线． 【解析】（1）证明：，，， ，共线， 又∵它们有公共点B， ∴A，B，D三点共线． （2）和共线， ∴存在实数λ，使， 即，. ，是两个不共线的非零向量， ，. 例11．（2023·高一课时练习）已知中，，为角平分线． （1）求 的长度； （2）过点作直线交的延长线于不同两点，且满足，，求的值，并说明理由． 【解析】（1）根据角平分线定理：，所以， 所以 所以：， 所以. （2）因为，， 所以， 因为三点共线，所以， 所以. 例12．（2023春·广西桂林·高一校考期末）如图所示，在中，，，与相交于点，设，. (1)试用向量表示； (2)过点作直线分别交线段于点，记，，求证：不论点在线段上如何移动，为定值. 【解析】（1）因为三点共线， 所以存在实数使得， 又因为三点共线， 所以存在实数使得， 根据向量相等可得，解得， 所以. （2）设， 由（1）可得①，②， 又三点共线，所以③， 由①②可得，，