重难专题03 妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题-2022-2023学年高一数学新教材同步配套教学讲义（苏教版2019必修第二册）

专题03 妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题 【题型归纳目录】 题型一：定值问题 题型二：范围与最值问题 题型三：求参问题以及其它问题 【知识点梳理】 （1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： 证明：不妨设 ，则， ① ② ①②两式相加得： （2）极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 ①平行四边形模式： 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. ②三角形模式：（M为BD的中点） A B C M 【典型例题】 题型一：定值问题 例1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在中，是的中点，、是上的两个三等分点，，，则的值是（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】C 【解析】因为是的中点，，是上的两个三等分点， 所以，， ，， 所以， ， 可得，， 又因为， 所以， 故选：C． 例2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在中，D是边的中点，E，F是线段的两个三等分点，若，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】依题意，D是边的中点，E，F是线段的两个三等分点， 则， ， 因此， 故选：B. 例3．（2023·全国·高一假期作业）如图，在平行四边形中，，点分别是边上的中点，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取HF中点O，则 , ，因此，选A. 题型二：范围与最值问题 例4．（2022·山东师范大学附中模拟预测）边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是_________. 【答案】 【解析】如下图所示： 设正方形的内切圆为圆，当弦的长度最大时，为圆的一条直径， ， 当为正方形的某边的中点时，， 当与正方形的顶点重合时，，即， 因此，. 故答案为：. 例5．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6 的可移动的线段，，， ，则的取值范围为 ________________ .    【答案】 【解析】在上取一点，使得，取的中点，连接，， 如图所示： 则，，， ，即. ， 当时，取得最小值，此时， 所以. 当与重合时，，， 则， 当与重合时，，， 则， 所以，即的取值范围为. 故答案为： 例6．（2022·全国·高三专题练习）已知直线与圆相切于点，设直线与轴的交点为，点为圆上的动点，则的最大值为______． 【答案】 【解析】圆的圆心的为，因为直线与圆相切于点则 所以得，所以，， 所以直线方程为，圆的方程为，所以，， 的中点， 则 因为， 所以 故，所以的最大值为 故答案为： 例7．（2022·全国·高三专题练习）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别为边BC，CD上的动点，以MN为边作等边，使得点A，P位于直线MN的两侧，则的最小值为______． 【答案】 【解析】如图，连接BN，设BN，MN中点分别为E，F，连接PE，PF，EF． 设，， ， 在中，由勾股定理得，则， BN，MN中点分别为E，F，则EF为的中位线， ∴且，∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 在等边中，F为MN中点，则，， ， 在中，由余弦定理得 ， 当N与C重合时，，，不存在，但可验证上述等式依然成立， 当且仅当时等号成立． ∵关于b的函数在上单调递增， ∴，当且仅当时等号成立． ∴，当且仅当，时等号成立. 故答案为：． 题型三：求参问题以及其它问题 例8．（2023春·江苏扬州·高一期末）在中，，为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且，若的最小值为3，则_________． 【答案】 【解析】取线段MN的中点P，连接CP，过C作于O，如图，， 依题意，， 因的最小值为3，则的最小值为2，因此， 在中，，，在中，，， 所以. 故答案为： 例9．（2023·全国·高三专题练习）在中，，为钝角，是边上的两个动点，且，若的最小值为，则__________． 【答案】 【解析】取的中点，取，， ， 因为的最小值， 所以． 作，垂足为，如图， 则，又，所以， 因为， 所以由正弦定理得：，， 所以 ． 故答案为：. 例10．（2022·全国·高一）设三角形ABC，P0是边AB上的一定点，满足P0B=AB，且对于边AB上任一点P，恒有，则三角形ABC形状为___________. 【答案】C为顶角的等腰三角形 【解析】取BC的中点D，连接PD，P0D，如图所示： ，同理，， ，设O为AB的中点， 即三角形ABC为以C为顶角的等腰三角形. 故答案为：C为顶角的等腰三角形． 【同步练习】 一、单选题 1．（2023·高一课时练习）如图，在平面四边形ABCD中， 若点E为边CD上的动点，则的最小值为（ ） A．