重难专题04 妙用等和线解决平面向量系数和、差、商问题-2022-2023学年高一数学新教材同步配套教学讲义（苏教版2019必修第二册）

专题04 妙用等和线解决平面向量系数和、差、商问题 【题型归纳目录】 题型一：问题（系数为1） 题型二：问题（系数不为1） 题型三：问题 题型四：问题 题型五：问题 【知识点梳理】 （1）平面向量共线定理 已知，若，则三点共线；反之亦然。 （2）等和线 平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。 ①当等和线恰为直线时，； ②当等和线在点和直线之间时，； ③当直线在点和等和线之间时，； ④当等和线过点时，； ⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数； 【典型例题】 题型一：问题（系数为1） 例1．（2023·全国·高三专题练习）在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，设，， 当时，，所以， 所以，从而有； 当时，因为（，）， 所以，即， 因为、、三点共线，所以，即. 综上，的取值范围是. 故选：C. 例2．（2023春·陕西西安·高一高新一中校考阶段练习）在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为　　 A． B． C．1 D．4 【答案】A 【解析】设，， 所以 ， 又， 所以． 故选：． 例3．（2023·湖南·高考真题）如图，，点由射线，线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且，则实数对可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，设，且， 故， 由图可知 ，因，所以，故AC错； 当时，，点在的右上方，不满足题意，故D错. 故选：B. 题型二：问题（系数不为1） 例4．（2023·全国·高三专题练习）已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为是内一点，且 所以O为的重心 在内（不含边界），且当M与O重合时，最小，此时 所以，即 当M与C重合时，最大，此时 所以，即 因为在内且不含边界 所以取开区间，即 所以选B 例5．（2023·全国·高三专题练习）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【解析】 作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F， 设，则， ∵BC//EF，∴设，则 ∴， ∴ ∴ 故选：A. 例6．（2023春·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）在扇形中，，，为弧上的一个动点，且．则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 令，则， 因为，则，,， 又， 则， 则， 则， 又， 易知为减函数， 由单调性易得其值域为. 故选：B. 题型三：问题 例7．（2023春·河南平顶山·高一统考期末）如图所示，点P在由线段AB，AC的延长线及线段BC围成的阴影区域内（不含边界），则下列说法中正确的是__________．（填写所有正确说法的序号） ①存在点P，使得； ②存在点P，使得； ③存在点P，使得； ④存在点P，使得． 【答案】①④ 【解析】设，由图可知： 且， ∴①④正确， 故答案为：①④ 例8．（2023·高一课时练习）已知△ABC中，，若点P为四边形AEDF内一点(不含边界)且，则实数x的取值范围为___________. 【答案】 【解析】如图所示，在线段BD上取一点G，使得， 设DC=3a，则DG=a，BC=5a，BG=a； 过点G作GH∥DE，分别交DF､AE于K､H， 连接FH，则点K､H为临界点； GH∥DE，所以HEEC，AHEC，HGDE， ， 所以FH∥BC； 所以FHBC， 所以， 所以KGHK， KGHGDE. 所以实数x的取值范围是(). 故答案为：(). 例9．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知点在由射线、线段，线段的延长线所围成的平面区域内（包括边界），且与平行，若，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，， 由向量加法的平行四边形法则，为平行四边形的对角线， 该四边形应是以与的反向延长线为两邻边， 当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上， ， ∴的取值范围为. 故选：D. 题型四：问题 例10．（2023春·山东济南·高一统考期末）在中，点是线段上的点，且满足，过点的直线分别交直线、于点、，且，，其中且，若的最小值为3，则正数的值为(    ) A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【解析】， ∵E、O、F三点共线，∴， ∵m>0，n>0，t>0， ∴， 当且仅当时取等号， ∴． 故选：B． 例11．（2023春·江西宜春·高一江西省万载中学校考