4.3.2等比数列的前n项和公式（2）课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.5等比数列的前n项和公式(2) na1 公式解析 等比数列的前n项和公式 复习引入 例10. 如图，正方形 的边长为 ，取正方形 各边的中点 作第2个正方形 ，然后再取正方形各边的中点， 作第3个正方形 ，依此方法一直继续下去. (1) 求从正方形 开始，连续10个正方形的面积之和； (2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的 面积之和将趋近于多少？ 探究新知 分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列。 新知探究 解：设正方形的面积为，后续各正方形的面积依次为, ,…， 则=25, 由于第个正方形的顶点分别是第个正方形各边的中点， 所以=, 因此{}，是以25为首项，为公比的等比数列. 设{}的前项和为 （1）=== 所以，前10个正方形的面积之和为c. 新知探究 (2)当无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和 ， 而 == 随着的无限增大，将趋近于0，将趋近于50. 所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50. 新知探究 典例解析 例11. 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）. 分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理 的垃圾量构成等差数列。因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算。 新知探究 解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{} ，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{} ， 年内通过填埋方式处理的垃圾总量为 （单位：万吨），则=20, =6+1.5 = = =() 当时， 所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为 63.5万吨. 新知探究 归纳总结 解决数列应用题时 一是：明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题； 二是：明确是求an，还是求Sn.细胞繁殖、利率、增长率等问题一般为等比数列问题． 新知探究 例12. 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8% ，且在每年年底卖出100头牛。设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为 （1）写出一个递推公式，表示与之间的关系； （2）将（1）中的递推公式表示成 的形式，其中, 为常数； （3）求=的值（精确到1）. 分析：（1）可以利用“每年存栏数的增长率为8%”和“每年年底卖出100头”建立与的关系；（2）这是待定系数法的应用，可以将它还原为（1）中的递推公式形式，通过比较系数，得到方程组；（3）利用（2）的结论可得出解答。 典例解析 新知探究 解（1）由题意，得并且 ① （2）将 化成 = ② 比较①②的系数，可得 解这个方程组，得 新知探究 典例解析 所以（1）中的递推公式可以化为 （3）由（2）可知，数列{-1250}是以-50为首项，1.08为公比的等比数列，则 所以 = 新知探究 典例解析 练习巩固 题型一 等比数列前n项和的性质 例1(1)在等比数列{an}中,若S2=7,S6=91,则S4=　　　　.  (2)已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240, 且(a1+a3+…+a2n-1)-(a2+a4+…+a2n)=80,则公比q=　　　　.  (3)若数列{an}是等比数列,且其前n项和为Sn=3n+1-2k,则实数k等于　　　.  典例解析 练习巩固 解析 (1)∵数列{an}是等比数列,且易知公比q≠-1, ∴S2,S4-S2,S6-S4也构成等比数列, 即7,S4-7,91-S4构成等比数列, ∴(S4-7)2=7(91-S4),解得S4=28或S4=-21. 又S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2 =(a1+a2)(1+q2)=S2(1+q2)>0,∴S4=28. 典例解析 练习巩固 方法技巧等比数列前n项和的性质 (1)若数列{an}为非常数列的等比数列,且其前n项和为Sn=A·qn+B(A≠0,B≠0,q≠0,q≠1),则必有A+B=0;反之,若某一非常数列的前n项和为Sn=A·qn-A(A≠0,q≠0,q≠1),则该数列必为等比数列. (2)若等比数列{an}的前n项和为Sn,则(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n).特别地,如果公比q≠-1或虽q=-1但n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等比数列. (3)当等比数列{an}的项数为