4.3.2等比数列的前n项和公式（1）课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.5等比数列的前n项和公式(1) 情景导学 国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者,问他想要什么.发明者说:“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒,第2个格子里放上2颗麦粒,第3个格子里放上4颗麦粒,依次类推,每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍,直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高,就欣然同意了.假定千粒麦粒的质量为40克,据查,2016-2017年度世界年度小麦产量约为7.5亿吨,根据以上数据,判断国王是否能实现他的诺言. 情境引入 问题1:每个格子里放的麦粒数可以构成一个数列,请判断分析这个数列是 否是等比数列?并写出这个等比数列的通项公式. 探究新知 是等比数列,首项是1,公比是2,共64项. 通项公式为 问题2:请将发明者的要求表述成数学问题. 求这个等比数列的前64项的和,即:=? 问题3:如何求解该问题. 新知探究 回顾:等差数列的前 项和公式的推导过程. 等差数列 , , 的前 项和是 根据等差数列的定义= ① ② ①+ ②得,). 所以 新知探究 问题4:对于等比数列,是否也能用倒序相加的方法进行求和呢? 在等比数列中, 所以). 对于等比数列求和,不能照搬倒序相加的方法,而是要挖掘此方法的本质,即求和的根本目的. 新知探究 问题5:求和的根本目的是什么? 新知探究 思路:为了看清式子的特点,我们不妨把各项都用首项和公比来表示. ① 问题6:观察① 式,相邻两项有什么特征?怎样把某一项变成它的后一项? 新知探究 问题7:如何构造另一个式子,与原式相减后可以消除中间项? ① ② 新知探究 设等比数列 的首项为 ,公比为 ,则 的前项和是 根据等比数列的通项公式, ① ② ① ②得, = 即(1 =( 1) 问题8:要求出,是否可以把上式两边同时除以(1 ? 新知探究 (1 =( 1) 当1 时,即 时,= 当1 时,即 时, = 问题8:要求出,是否可以把上式两边同时除以(1 ? 新知探究 na1 公式解析 等比数列的前n项和公式 新知探究 问题解决 问题3的解决: “请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒,第2个格子里放上2颗麦粒,第3个格子里放上4颗麦粒……依次类推,每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍,直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.” = = 不能实现! 一千颗麦粒的质量约为40g,据查,2016-2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨. 新知探究 典例解析 新知探究 新知探究 新知探究 新知探究 典例解析 新知探究 新知探究 归纳总结 新知探究 典例解析 新知探究 新知探究 新知探究 归纳总结 新知探究 练习巩固 题型一 等比数列前n项和公式的应用 例1在等比数列{an}中,Sn为其前n项和,解决下列问题: (1)若a1+a3=10,a4+a6= ,求S5; (2)若Sn=189,q=2,an=96,求a1和n. 练习巩固 练习巩固 练习巩固 方法技巧等比数列前n项和公式的应用问题 在等比数列{an}的五个量a1,q,an,n,Sn中,a1与q是最基本的元素,当条件与结论间的联系不明显时,均可以用a1与q表示an与Sn,从而列方程组求解.在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的.这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用. 练习巩固 练习巩固 练习巩固 题型二 错位相减法求和 练习巩固 练习巩固 方法技巧错位相减法求和的解题策略 (1)如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项乘积组成,此时可把式子Sn=a1+a2+…+an两边同乘公比q,得到qSn=a1q+a2q+…+anq,两式错位相减整理即可求出Sn. (2)错位相减法求和是一种非常重要的求和方法,这种方法的计算过程较为复杂,对计算能力要求较高,应加强训练.要注意通过训练,掌握在错位相减过程中的几个关键环节,避免出错. (3)使用错位相减法求和时得到的结论,可以将n=1,2代入验证是否正确,如本例中当n=1时, 因此所得结果正确. 练习巩固 变2求数列an=n·2n的前n项和. 解 设前n项和为Sn,则Sn=1×21+2×22+3×23+…+n·2n, 则2Sn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)·2n+n·2n+1,两式相减, 得-Sn=1×21+(22+23+24+…+2n)-n·2n+1, 于是-Sn=21+(22+23+24+…+2n)-n·2n+1= -n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1, 故Sn=(n-1)·2n+1+2. 课堂小结 (1)等比数列的前 项和 (2)等比数列前 项和公式的推导方法:错位相减法. (3)对于等比数列的相关量 五个量“知三求二”. 已知量 首项a1、公比q(q≠1)与项数n 首