4.2.2等差数列的前n项和公式（2）课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3等差数列的前n项和公式（2） 问题1 你能说出推导等差数列前n项和公式的方法，并准确写出这两个公式吗？ 复习引入 等差数列{an}的前n项和公式 (1) (2) 课前小测 新知探究 新知探究 新知探究 新知探究 分析：将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列{an} ，设数列{an} 的前项和为。由题意可知， {an}是等差数列，且公差及前20项和已知，所以可利用等差数列的前项和公式求首项。 典例解析 例8.某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多两个座位. 问第1排应安排多少个座位？ 新知探究 解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列{an}，其前n项和为Sn. 根据题意，数列{an}是一个公差为2的等差数列，且S20＝800. 由 a1 21 因此，第1排应安排21个座位。 新知探究 典例解析 分析 数项的和。 另一方面，等差数列的前n项和公式可写成 ，所以当时， 可以看成二次函数 ，当= 时函数值。如图，当 时， 关于的图像是一条开口向下的抛物线上的一些点，因此，可以利用二次函数求相应的, 的值。 例9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由. 新知探究 解法1.由d＝－2，得an＋1－an＝－2＜0，得an＋1＜an ，所以{an}是递减数列. 由a1＝10，d＝－2， 得an＝10＋(n－1)×(－2) ＝－2n＋12. 可知，当n＜6时，an＞0； 当n＝6时，an＝0； 当n＞6时，an＜0. 所以, S1＜S2＜…＜S5＝S6＞ S7＞… 也就是说，当n＝5或6时，Sn最大. 因为 =30 所以Sn的最大值为30. 新知探究 解法2：因为由a1＝10，d＝－2， 因为 所以，当n取与 最接近的整数， 即5或6时，Sn最大，最大值为30. 新知探究 1.在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法： (1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的 各项和为最大(小)． (2)借助二次函数的图象及性质求最值． 2．寻求正、负项分界点的方法： (1)寻找正、负项的分界点来寻找． (2)利用到y＝ax2＋bx(a≠0)的对称轴距离最近的左侧的一个正数或离对称轴 最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点． 归纳总结 新知探究 一、等差数列前n项和的函数特征 等差数列的前n项和公式转移到二次函数的过程 等差数列的前n项和公式与二次函数的关系 ①当A=0,B=0(即d=0,a1=0)时,Sn=0是关于n的常函数,{an}是各项为0的常数列. ②当A=0,B≠0(即d=0,a1≠0)时,Sn=Bn是关于n的正比例函数,{an}为各项非零的常数列. ③当A≠0(即d≠0)时,Sn=An2+Bn是关于n的二次函数(常数项为0). 二、等差数列前n项和的性质 (2)设等差数列{an}的公差为d,Sn为其前n项和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍构成等差数列,且公差为m2d. 练习巩固 题型一 等差数列前n项和的性质及其应用 例1(1)等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则数列{an}的前3m项的和S3m为　　　　　.  解 (1)(方法1)在等差数列中, ∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列, ∴30,70,S3m-100成等差数列. ∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210. 练习巩固 方法技巧利用等差数列前n项和的性质简化计算 (1)在解决等差数列问题时,先利用已知条件求出a1,d,再求所求,是基本解法(有时运算量大些). (2)如果利用等差数列前n项和的性质或利用等差数列通项公式的性质,可简化运算,为最优解法. (3)设而不求,整体代换也是很好的解题方法. 练习巩固 题型二 等差数列前n项和的最值问题 例2在等差数列{an}中,Sn为前n项和,且a1=25,S17=S9,请问数列{an}前多少项和最大? 练习巩固 练习巩固 练习巩固 方法技巧一般地,在等差数列{an}中,若a1>0,d<0,则其前n项和Sn有最大值;若a1<0,d>0,则其前n项和Sn有最小值,具体求解方法如下: (2)利用等差数列的性质,找出数列{an}中正、负项的分界项.当a1>0,d<0时,前n项和Sn有最大值,可由an≥0且an+1≤0,求得n的值;当a1<0,d>0时,前n项和Sn有最小值,可由an≤0且an+1≥0,求得n的值. 等差数列前n项和的最大值问题