4.2.1等差数列的概念（2）课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2 等差数列的概念（2） (1) 等差数列及等差中项的定义； (2) 等差数列的通项公式； (3) 通项公式的应用. 应用 通项公式 函数与方程 的思想 复习回顾 an＋1－an＝d，n∈N* ； an＝a1＋(n－1)d，n∈N*； 累加法. 复习巩固 典例解析 例3.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年 ，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d的范围. 分析：该设备使用n年后的价值构成数列{an}，由题意可知，an＝an－1－d (n≥2). 即：an－an－1＝－d.所以{an}为公差为－d的等差数列. 10年之内（含10年），该设备的价值不小于万元；10年后，该设备的价值需小于11万元．利用{an}的通项公式列不等式求解． 新知探究 解：设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}． 由已知条件，得an＝an－1－d（n≥2）． 所以数列{an}是一个公差为－d的等差数列. 因为a1＝220－d， 所以an＝220－d＋(n－1)(－d)＝220－nd. 由题意，得a10≥11，a11＜11. 即： 解得19<d≤20.9 所以，d的求值范围为19<d≤20.9 新知探究 等差数列在实际生产生活中也有非常广泛的作用.将实际问题抽象为等差数列问题，用数学方法解决数列的问题，再把问题的解回归到实际问题中去，是用数学方法解决实际问题的一般过程. 归纳总结 新知探究 典例解析 例4. 已知等差数列{an} 的首项a1＝2，在{an} 中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}. (1)求数列{bn} 的通项公式. (2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是 ，请说明理由. 分析：（1） {an}是一个确定的数列，只要把a1 ，a2表示为{bn}中的项，就可以利用等差数列的定义得出的通项公式；（2）设{an}中的第n项是{bn}中的第cn项，根据条件可以求出n与cn的关系式，由此即可判断b29是否为{an}的项. 新知探究 解：（1）设等差数列的公差为 ∵b1, b5, b5b1 =8 ∵b5b1 , 8, , +() 2=2 所以数列的通项公式是=2 （2）数列的各项依次是数列的第1,5,9,13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则=4 3 令4 3=29, 解得: =8 所以， b29是数列的第8项 对于第（2）小题，你还有其他解法吗？ 新知探究 归纳总结 等差数列的性质 如果在一个等差数列的每相邻两项之间都插入 )个合适的数， 仍然可以构成一个新的等差 数列. 新知探究 例5. 已知数列 是等差数列，,且 求证: 跟踪训练 分析：利用等差数列的中的两个基本量 ,再根据等差数列的定义 写出即可得证. 新知探究 证明：设数列 的公差为,则 +() +() +() +() 所以: , 因为 所以 例5 是等差数列的一条性质，右图是它的一种情形.你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？ 新知探究 通过上节课我们知道等差数列对应的点分布在一条直线上，那么你能从直线斜率的角度来解释这一性质吗？ 思路： ∵, 新知探究 题型一 等差数列性质的应用 例1(1)已知等差数列{an},a5=10,a15=25,求a25的值. (2)已知等差数列{an},a3+a4+a5+a6+a7=70,求a1+a9的值. (3)已知数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=2,b1=-3,a7-b7=17,求a19-b19的值. 分析根据各个题的特征,选择相应等差数列的性质求解. 练习巩固 (方法2)因为5+25=2×15,所以在等差数列{an}中有a5+a25=2a15,从而a25=2a15-a5=2×25-10=40. (方法3)因为5,15,25成等差数列,所以a5,a15,a25也成等差数列,因此a25-a15=a15-a5,即a25-25=25-10,解得a25=40. 练习巩固 (2)由等差数列的性质,得a3+a7=a4+a6=2a5=a1+a9,所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=70,于是a5=14,故a1+a9=2a5=28. (3)令cn=an-bn,因为{an},{bn}都是等差数列,所以{cn}也是等差数列,设其公差为d,由已知,得c1=a1-b1=5,c7=17,则5+6d=17,解得d=2,‘ 故a19-b19=c19=5+18×2=4