4.1数列的概念（2）课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.1数列的概念（2） 例4. 图中的一系列三角形图案称为谢宾斯基三角形，在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的通项公式 解：在图中（1）（2）（3）（4）中，着色三角形个数依次为 1,3,9,27 即所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1， 因此这个数列的通项公式是 典例解析 新知探究 换个角度观察图中的4个图形，可以发现，且每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为3个着色小三角形和1个无色小三角形，于是从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的三倍，这样，例4中的数列的前4项满足 ， 由此猜测，这个数列满足公式 新知探究 概念解析 通项公式和递推公式的区别 通项公式直接反映了an与n之间的关系,即已知n的值,就可代入通项公式求得该项的值an;递推关系则是间接反映数列的式子,它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系,要求an,需将与之联系的各项依次求出. 像这样，如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式，知道了首项和递推公式就能求出数列的每一项了 一、数列的递推公式 新知探究 1.设数列{an}满足a1=1, 小试牛刀 新知探究 1.数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=a1+a2+…+an.如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. 点睛(1)已知数列{an}的前n项和Sn,求an,一般使用公式an=Sn-Sn-1(n≥2), 但必须注意它成立的条件(n≥2且n∈N*). (2)由Sn-Sn-1求得的an,若当n=1时,a1的值不等于S1的值, 则数列的通项公式应采用分段表示,即 概念解析 二、数列的通项与前n项和 新知探究 分析由a1的值和递推公式,分别逐一求出a2,a3,a4,a5的值. 题型一 由递推公式求前若干项 练习巩固 方法技巧由递推公式写出数列的项的方法 根据递推公式写出数列的前几项,要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.另外,解答这类问题时还需注意:若已知首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式;若已知末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式. 练习巩固 变1已知数列{an}满足an=4an-1+3(n>1),且a1=0,则此数列的第5项是(　　) A.15 B.255 C.16 D.63 答案 B 解析 因为a1=0,所以a2=4a1+3=3,a3=4a2+3=15,a4=4a3+3=63,a5=4a4+3=255. 练习巩固 题型二 由递推公式求数列的通项公式 练习巩固 练习巩固 练习巩固 方法技巧由递推公式求通项公式常用的两种方法 (1)累加法:当an=an-1+f(n),n>1时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1求通项公式. 练习巩固 练习巩固 例3(1)若数列{an}的前n项和Sn=-2n2+10n,求数列{an}的通项公式. (2)若数列{an}的前n项和Sn=2n+1-1,求数列{an}的通项公式. 题型三 由数列的前n项和求通项公式 练习巩固 解 (1)∵Sn=-2n2+10n, ∴Sn-1=-2(n-1)2+10(n-1), ∴an=Sn-Sn-1=-2n2+10n+2(n-1)2-10(n-1)=-4n+12(n≥2). 当n=1时,a1=-2+10=8=-4×1+12. 此时满足an=-4n+12,∴an=12-4n. (2)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-1-2n+1=2n; 当n=1时,a1=S1=3,经验证不符合上式. 练习巩固 新知探究 an=1+(n∈N*,n>1),则a3=　　　　　.  解析:由已知,得a2=1+=2,a3=1+. 答案: 2.an= an= 例1已知数列{an},a1=1,且满足an=3an-1+(n∈N*,且n>1),写出数列{an}的前5项. 解 由题意,得a2=3a1+,而a1=1, 所以a2=3×1+. 同理a3=3a2+=10,a4=3a3+,a5=3a4+=91. 例2(1)已知数列{an}满足a1=-1,an+1=an+,n∈N*,求数列{an}的通项公式an. (2)在数列{an}中,a1=1,an=an-1(n≥2),求数列{an}的通项公式. 分析(1)先将递推公式变形为an+1-an=,再利用累加法求通项公式;(2)先将递推公式化为,再利用累乘法求通项公式. 解