6.4 平面向量的应用（单元教学设计）-【大单元教学】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）

6.4平面向量的应用（单元教学设计） 一、【单元目标】 （1）会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用。 （2）借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理。 （3）能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题。 二、【单元知识结构框架】 三、【学情分析】 学生已经学习过了勾股定理、任意角的三角函数、平面向量等相关知识，这为过渡到本节内容的学习起着铺垫作用。高一下学期阶段的学生思维较为活跃，求知欲也较强，但没有接触过数学定理的证明，没有证明定理的经验，将实际问题转化为数学问题的建模能力有待提高。因此教师要提供针对性的研究素材，并作必要的启发和引导，证明余弦定理的过程中也会存在困难，教师可以适时的点拨。 四、【教学设计思路/过程】 课时安排： 约 5课时 教学重点：用向量方法解决简单的几何问题、实际问题的方法与步骤，用向量方法证明余弦定理和正弦定理 ，余弦定理和正弦定理的应用。 教学难点： 如何把几何问题、实际问题转化为向量问题，余弦定理和正弦定理的证明。 教学方法/过程： 五、【教学问题诊断分析】 6.4.1 平面几何中的向量方法 一、复习回顾： （1）向量加法的三角形法则、平行四边形法则； （2）向量平行、垂直的判断方法； 在之前向量的学习中，我们发现，平面几何图形的很多性质都可以用向量表示出来.因此平面几何中的许多问题都可以用向量运算的方法加以解决.下面我们通过例题，探究向量方法在平面几何中的应用. 二、新知探究 例1 如图，DE是△ABC的中位线，用向量方法证明：， 证明：如图，因为DE是△ABC的中位线， 所以，. 从而 又， 所以. 于是， 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系. 例2 如图，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？ 解：第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题： 如图，取为基底，设，则 ，. 第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系： ， . 上面两式相加，得. 第三步，把运算结果“翻译”成几何关系： . 三．课堂检测 设计意图：例题变式练. 1. 已知P是内的一点，，则的面积与的面积的比值为( ) A. B.2 C.3 D.6 答案：C 解析：在中，设边的中点为D，则. 因为，所以，所以.故选C. 2. 在中，，且，则的形状是___________. 答案：等边三角形 解析：因为，所以， 又为的内角，所以. 又，所以为等边三角形. 3. 已知菱形的边长为，，点分别在边上，，若，则的值为__________. 答案：2 解析： 如图， ， ， 由题意知， 所以 ， 解得. 四、课堂小结： 1. 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”； 2. 用向量方法解决平面几何问题的应用. 五．课后作业 设计意图：巩固提升. 1.习题6.4.1 2. 6.4.1 平面几何中的向量方法（分层作业）（必做题+选做题） 6.4.2 向量在物理中的应用举例 1、情境引入 例3：在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？ 答：上面的问题可以抽象为如图所示的数学模型．只要分析清楚F、G、三者之间的关系（其中F为F1、F2的合力），就得到了问题的数学解释 不妨设|F1|=|F2|，以F1、F2为邻边的四边形是菱形 力F1与力F2的合力与重力G大小相等、方向相反 整理得 当在内逐渐增大时，的值由大变小，| F1|由小变大 即F1、F2之间的夹角越大越费力 追问：(1)为何值时，|F1|最小，最小值是多少？ (2)| F1 |能等于|G|吗？为什么？ 答：(1)当=00时，|F1|最小， (2) 当=1200时， 2、探索新知 【例4】一条河的两岸平行,河的宽度d=500 m， 一艘船从A处出发到河 的正对岸B处，船航行的速度|v1|=10 km/h，水流速度|v2|=2 km/h， 问行驶航程最短时，所用时间是多少(精确到0.1 min) ？ 解：设点B是河对岸一点，AB与河岸垂直，那么当这艘船实际沿着AB方 向行驶时，船的航程最短 如图，设，则 此时，船的航行时间 所以，当