专题05 正方形中“对角互补”模型-2022-2023学年八年级数学下册《高分突破•培优新方法》（苏科版）

学利四 学科网原创，让学司更名易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 专题05正方形中“对角互补”模型 解题思路 【对角互补模型归纳】 在正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，点E,F分别在AB、 BC上，若∠EOF为直角，OE、OF分别与DA、AB的延长线交于点G、H, 则▲AOE烂BOF,▲AOG≌▲BOH,▲OGH是等腰直角三角形， S四边形= 4S正方形你 典例分析 【典例1】(2021春·宁阳县期末)如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC 、BD相交于O. (1)如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF=90°，线段AF、 BF和EF之间存在一定的数量关系.请你用等式直接写出这个数量关系： (2)如图2，设E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF=45°，请你用 等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明. 图1 图2 学科网 学科网原创，让学司更名易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 【变式1-1】(2020·呼伦贝尔)已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC, BD相交于点O,点E,F分别是边BC,CD上的点，且∠EOF=90°· 求证：CE=DF. D B C 【典例2】(2020春·潜山市期末)如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=3√2 ,点E为对角线AC上一动点，连接DE,过点E作EF⊥DE,交BC于点F, 以DE、EF为邻边作矩形DEFG,连接CG. (1)求证：矩形DEFG是正方形： (2)探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值：若不是，请 说明理由 2 学科网原|，让学习天容为！ cOM学科网精品频道全力推荐 【变式2-1】(2021春·淮北期末）四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一 点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作 矩形DEFG，连接CG． (1)如图，求证：矩形DEFG是正方形； （2)若AB=2\sqrt{2}，CE=2，求CG的长； (3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC 的度数． A___p A———p B─ 备用图 【变式2-2】(2021·杭州校级模拟）如图，正方形ABCD中，AB=4，点E是对 角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF 为邻边作矩形DEFG，连接AG． (1)求证：矩形DEFG是正方形； (2)求AG+AE的值； (3)若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长． 夯实基础 3 学利网 学科网原创，让学司更名易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 1.(2022秋·沙坪坝区校级期末)如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC、 BD的交点，E、F分别为边BC、CD上一点，且OE⊥OF,连接EF.若 ∠A0E=150°，DF=√3，则EF的长为() 1 A.2V3 B.2+V3 C.√3+1 D.3 2.(秋·乐清市期末)如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向形外作△ABD, 使∠ADB=120°，再以点C为旋转中心把△CBD旋转到△CAE,则下列结论： ①D、A、E三点共线： ②DC平分∠BDA; ③∠E=∠BAC; ④DC=DB+DA. 其中正确的有( A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 3.(巴南区校级期末)如图，正方形ABCD,点P是对角线AC上一点，连接BP, 过P作PQ⊥LBP,PQ交CD于Q,连接BQ交AC于G,若AP=√2，Q为 CD中点，则下列结论： ①∠PBC=∠POD:②BP=PO:③∠BPC=∠BOC:④正方形ABCD的面积 是16： 其中正确结论的个数是() 学利网 学科网原创，让学司更名易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 D Q G C A.4 B.3 C.2 D.1 4.(2022秋·峰峰矿区校级期末)如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC 、BD相交于O,设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF=90°. 求证：AE=BF C B 5.(2021秋·莆田期末)如图，点P(3m-1,-2m+4)在第一象限的角平分线 OC上，AP⊥BP,点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上 (1)求点P的坐标 (2)当∠APB绕点P旋转时， ①OA+OB的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围：若不变，求出这个 定值。 ②请求出OA2+OB2的最小值 B 0 学利网 学科网原创，让学司更名易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 6.(2020春·浦东新区期末)已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相 交于点O,点E、F分别在边AB、BC上，∠EOF=90°，如图1 (1)求证：CF=B