专题06 正方形中“外角平分线”模型-2022-2023学年八年级数学下册《高分突破•培优新方法》（苏科版）

学科网 学科网原创，让学司更名易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 专题06正方形中“外角平分线”模型 解题思路 【模型归纳】 条件：E点在BC线段上运动 ①正方形ABCD:②∠EAF=45”;③∠AEP=90°；④AE=EP;⑤P在外角平分线上 已知：①②⑤可证③④ 条件：当E点在BC直线上运动的时候 已知：①③⑤可证②④ 已知：①②③可证④⑤ 典例分析 【典例1】（春·双鸭山期末）如图，四边形ABCD是正方形，E是BC边所在直 线上的点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F. (1)当点E在线段BC中点时（如图1），易证AE=EF,不需证明： (2)当点E在线段BC上（如图2）或在线段BC延长线上（如图3）时，(1) 中的结论是否仍然成立？请写出你的猜想，并选择图2或图3的一种结论给 予证明。 1 学利网 学科网原创，让学司更名易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 CE G 图1 图2 图3 【变式1-1】（春·海淀区校级期中）如图，四边形ABCD是正方形，点E是边 BC上一点，且∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F.若正方 形边长是8，EC=2,则FC的长为 【变式1-2】(2021春·柳南区校级期末)如图1，四边形ABCD是正方形，点E 是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形ABCD的外角∠DCG的平分 线CF于点F (1)如图2，取AB的中点H,连接HE,求证：AE=EF. (2)如图3，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件 不变结论“AE=EF”仍然成立吗？如果正确，写出证明过程：如果不正确， 请说明理由、 图1 图2 图3 2 学科网 学科网原创，让学司更名易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 【变式1-3】（春·西乡塘区期末）如图所示，BD是正方形ABCD的对角线，BC =4,点H是AD边上的一动点，连接CH,作HE⊥CH,使得HE=CH,连 接AE. (1)求证：∠DCH=∠AHE; (2)如图2，过点E作EF∥AD交对角线BD于点F,试探究：在点H的运 动过程中，EF的长度是否为一个定值；如果是，请求出EF的长度： B H G H G 图1 图2 夯实基础 T,、20zzm期末)如图，在边长为5的正方形ABCD内作∠E4F=45°， AE交BC于点E,AF交CD于点F,连接EF,若DF=2,则BE的长为() D B A.15 B青 c.3 D.2 2.(2021春·钦州期末)如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点， ∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F,已知正方形边长为 4,则EF的长为 学利四 学科网原创，让学司更名易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 D E 3.(2022春·长寿区期末)已知：四边形ABCD是正方形 (1)如图1，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分 线CF于点F.求证：AE=EF; (2)如图2，若把(1)中“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的 任意一点”，其余的条件不变，试证明AE=F仍然成立。 D B B E 图1 图2 4.(2022春•济源期中)在一次课题学习活动中，老师提出了如下问题：如图1， 四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形 外角平分线CF于点F.请你探究AE与EF存在怎样的数量关系，并证明你的结 学利网 学科网原创，让学司更名易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 论正确 经过探究，小明得出的结论是AE=EF.而要证明结论AE=EF,就需要证明 AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等（一个是直 角三角形，一个是钝角三角形)，考虑到点E是边BC的中点，小明想到的方 法是如图2，取AB的中点M,连接EM,证明△AE≌△EFC.从而得到AE =EF. 请你参考小明的方法解决下列问题： (1)如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任 意一点”，其余条件不变，证明结论AE=EF仍然成立， (2)如图4，若把条件“点E是边BC的中点”改为：“点E是边BC延长线 上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否还成立？若成立，请完 成证明过程，若不成立，请说明理由 图1 图2 图3 图4 5.(2021春·天元区期中)如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中 点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F.请你认真阅读下 面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题. 5 学利四 学科网原创，让学司更名易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 (1)请证明AE=