专题04 三角函数-2023年新高考数学考前提分锦囊

专题四 三角函数 一、考情分析 三角函数是新高考热点,新高考对三角函数的考查,主要有2个方面：一是三角变换.主要考查利用三角变换求值；二是三角函数的图象与性质,从近3年的命题模式看,一般是一道小题,通常为三角函数的图象与性质,有时也考查三角变换,难度通常为容易题或中等题. 二、三年新高考真题展示 1.（2020新高考山东卷）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像,则sin(ωx+φ)= （ ） A. B. C. D. 2．（2021新高考全国卷Ⅰ）下列区间中,函数单调递增的区间是　　 A． B．, C． D．, 3. （2022新高考全国卷Ⅰ）记函数的最小正周期为T．若,且的图象关于点中心对称,则 A. 1 B. C. D. 3 4.（2022新高考全国卷Ⅱ）已知函数的图像关于点中心对称,则 A. 在区间单调递减 B. 在区间有两个极值点 C. 直线是曲线的对称轴 D. 直线是曲线的切线 三、知识、方法、技能 1.利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α,k∈Z}判断一个角β所在的象限时,只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和,然后判断角α的象限．弧度的角分别位于第几象限,你能判断吗？ 2.三角函数诱导公式 （1）对于形如即满足中取偶数时：等于角的同名三角函数,前面加上一个把看成是锐角时,该角所在象限的符号； （2）对于形如即满足中取奇数时：等于角的余名三角函数,前面加上一个把看成是锐角时,该角所在象限的符号. （3）口诀：奇变偶不变,符号看象限（看原函数,同时可把看成是锐角）. 3.运用诱导公式转化角的一般步骤： ①负化正：当已知角为负角时,先利用负角的诱导公式把这个角的三角函数化为正角的三角函数值； ②正化负：当已知角是大于的角时,可用的诱导公式把这个角的三角函数值化为主区间内的三角函数值； ③主化锐：当已知角是到内的角时,可利用的诱导公式把这个角的三角函数值化为到内的角. 4.利用同角三角函数基本关系式和诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：(1)基本思路：①分析结构特点,选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值． 5.记住以下结论： 6.两角和与差的三角函数公式 （1）两角和与差的正弦公式：. 变形式：； （2）两角和与差的余弦公式： 变形式：；； （3）两角和与差的正切公式：. 变形式：. 7.运用两角和与差的三角函数公式的关键是熟记公式,我们不仅要记住公式,更重要的是抓住公式的特征,如角的关系,次数关系,三角函数名等抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用,而且抓住了公式的结构特征,有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征,联想到相应的公式,从而找到解题的切入点. 8.二倍角公式的正弦、余弦、正切 （1）二倍角的正弦公式:； 二倍角的余弦公式:； 二倍角的正切公式: . （2）降幂公式：；；. （3）升幂公式：;;. 注意：在二倍角公式中,两个角的倍数关系,不仅限于2是的二倍,要熟悉多种形式的两个角的倍数关系,同时还要注意三个角的内在联系的作用,是常用的三角变换. 9.如何利用“切弦互化”技巧 （1）弦化切：把正弦、余弦化成切得结构形式,这样减少了变量,统一为“切”得表达式,进行求值. 常见的结构有: ① 的二次齐次式（如）的问题常采用“”代换法求解； ②的齐次分式（如）的问题常采用分式的基本性质进行变形． （2）切化弦：利用公式,把式子中的切化成弦.一般单独出现正切、余切的时候,采用此技巧. 10.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路 基本思路是：一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心.第二看函数名称之间的关系,通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点.基本的技巧有: （1）巧变角：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如,,,,等. (2)三角函数名互化：切割化弦,弦的齐次结构化成切. (3)公式变形使用：如 (4)三角函数次数的降升：降幂公式与升幂公式. (5)式子结构的转化. (6)常值变换主要指“1”的变换：等. 11.辅助角公式：(其中角所在的象限由的符号确定,的值由确定.在求最值、化简时起着重要作用,这里只要掌握辅助角为特殊角的情况即可. 如等. 12.三角函数的定义域: 正弦函数、余弦函数的定义域都是R； 正切函数定义域. 13.三角函数的值域： （1）正弦、余弦函数值域都是. 对,当时,取最大值1；当时,取最小值－1； 对,当时,取最大值1